Laurent-Polynom

Ein Laurent-Polynom (nach Pierre Alphonse Laurent) ist in der Mathematik eine Verallgemeinerung des Begriffs Polynom. Beim Laurent-Polynom sind auch negative Exponenten zugelassen.

Definition

Ein Laurent-Polynom über einem kommutativen Ring <math>R</math> ist ein Ausdruck der Form

<math> p(X) = \sum_{k\in \Z} a_k X^k, \quad a_k\in R</math>,

bei dem nur endlich viele Ringelemente <math>a_k</math> von 0 verschieden sind. Ein Laurent-Polynom kann also als eine Laurent-Reihe mit nur endlich vielen von 0 verschiedenen Koeffizienten angesehen werden.

Der Ring der Laurent-Polynome

Mit Laurent-Polynomen rechnet man formal wie folgt:

Addition: <math>{}\quad\quad \sum_{i\in\Z} a_iX^i\, + \, \sum_{i\in\Z} b_iX^i = \sum_{i\in\Z} (a_i+b_i)X^i</math>,

Multiplikation: <math>\sum_{i\in\Z} a_iX^i\, \cdot \, \sum_{j\in\Z} b_jX^j = \sum_{k\in\Z} \left(\sum_{i,j: i + j = k} a_i b_j\right)X^k</math>.

Diese Operationen machen die Menge <math>R[X,X^{-1}]</math> zu einem Ring, dem sogenannten Laurent-Ring über <math>R</math>. Es handelt sich sogar um einen R-Modul, wenn man die Multiplikation mit Elementen <math>a \in R</math> in naheliegender Weise wie folgt definiert:

Skalare Multiplikation: <math>a \cdot \sum_{i\in\Z} a_iX^i\, = \, \sum_{i\in\Z} (a a_i)\,X^i</math>.

In vielen Anwendungen ist <math>R</math> ein Körper, <math>R[X,X^{-1}]</math> ist dann eine <math>R</math>-Algebra.

Eigenschaften

Man erhält <math>R[X,X^{-1}]</math> aus dem Polynomring <math>R[X]</math>, indem man die Unbestimmte <math>X</math> invertiert. Der Laurent-Ring über <math>R</math> ist damit die Lokalisierung von <math>R[X]</math> nach der von den positiven Potenzen von <math>X</math> erzeugten Halbgruppe.
Die Einheiten von <math>R[X,X^{-1}]</math> sind von der Form <math>aX^i</math>, wobei <math>a\in R</math> eine Einheit und <math>i\in \Z</math> ist.
Der Laurent-Ring über <math>R</math> ist isomorph zum Gruppenring von <math>\Z</math> über <math>R</math>.

Derivationen des Laurent-Rings

Es sei <math>R</math> ein Körper. Dann ist die Menge der Derivationen auf <math>R[X,X^{-1}]</math> eine Lie-Algebra. Die formale Ableitung

<math>\frac{\partial}{\partial X}:\, \sum_{i\in\Z} a_iX^i \mapsto \sum_{i\in\Z} i\cdot a_iX^{i-1}</math>

ist eine solche Derivation. Daher ist auch für jedes <math>p(X)\in R[X,X^{-1}]</math> durch die Definition <math>\textstyle T_{p(X)}:=p(X)\frac{\partial}{\partial X}</math> eine Derivation gegeben. Dies ist die allgemeinste Derivation auf <math>R[X,X^{-1}]</math>. Ist nämlich <math>T</math> eine solche Derivation, so ist <math>p(X):=T(1\cdot X) \in R[X,X^{-1}]</math> und man kann <math>T=T_{p(X)}</math> zeigen.<ref>Igor Frenkel, James Lepowsky, Arne Meurman: Vertex Operator Algebras and the Monster, Academic Press, New York (1988) ISBN 0-12-267065-5, Satz 1.9.1</ref>

Die Derivationen <math>\textstyle d_n := T_{-X^{n+1}} = -X^{n+1}\frac{\partial}{\partial X},\, n\in\Z</math>, bilden daher eine Basis. Durch eine kurze Rechnung bestätigt man die Kommutatorrelationen

<math> [d_m,d_n] \,=\, (m-n)d_{m+n} </math> für alle <math>m,n\in \Z</math>.

(siehe Witt-Algebra). Weiter gilt

<math>d_0(X^n) = -n\cdot X^n</math> für alle <math>n\in \Z</math>.

Daher nennt man <math>-d_0\,</math> auch die Grad-Derivation.

Einzelnachweise