Lehmer-Mittel

In der Mathematik ist das Lehmer-Mittel ein nach Derrick Henry Lehmer benannter, verallgemeinerter Mittelwert.

Definition

Das Lehmer-Mittel <math>n</math> positiver reeller Zahlen <math>a_1, \ldots, a_n</math> zur Stufe <math>p</math> ist wie folgt definiert:

<math>L_p(a_1,\ldots,a_n) = \frac{\sum\limits_{k=1}^n a_k^p}{\sum\limits_{k=1}^n a_k^{p-1}}.</math>

Es gibt auch eine Form des Lehmer-Mittels mit (positiven) Gewichten <math>w = (w_1, \ldots, w_n)</math>. Das gewichtete Lehmer-Mittel ist:

<math>L_{p,w}(a_1, \ldots, a_n) = \frac{\sum\limits_{k=1}^n w_k a_k^p}{\sum\limits_{k=1}^n w_k a_k^{p-1}}.</math>

Eigenschaften

Für das Lehmer-Mittel gilt

<math>\lim_{p\to-\infty} L_p(a_1,\ldots,a_n) = \min\{a_1,\ldots,a_n\}</math> ist der Minimalwert.
<math>L_0(a_1,\ldots,a_n) = \frac{n}{\sum\limits_{k=1}^n \frac1{a_k}} = \frac{n}{\frac1{a_1}+\cdots+\frac1{a_n}}</math> ist das harmonische Mittel.
Für <math>n=2</math> ist <math>L_{\frac{1}{2}}(a_1,a_2) = \frac{\sqrt{a_1}+\sqrt{a_2}}{\frac{1}{\sqrt{a_1}} + \frac{1}{\sqrt{a_2}}} = \sqrt{a_1a_2}</math> das geometrische Mittel.
<math>L_1(a_1,\ldots,a_n) = \frac{\sum\limits_{k=1}^n a_k}{n} = \frac{a_1+\cdots+a_n}{n}</math> ist das arithmetische Mittel.
<math>L_2(a_1,\ldots,a_n) = \frac{\sum\limits_{k=1}^n a_k^2}{a_1+\cdots+a_n} </math> ist das schon Eudoxos von Knidos bekannte kontraharmonische Mittel<ref>Hischer/Lambert: "Was ist ein numerischer Mittelwert?"</ref>.
<math>\lim_{p\to\infty} L_p(a_1,\ldots,a_n)=\max\{a_1,\ldots,a_n\}</math> ist der Maximalwert.

Das kontraharmonische Mittel ist im Gegensatz zu den anderen fünf Spezialfällen nicht monoton<ref>Mittelwertaxiome</ref>, d. h. aus <math>a_i \leq b_i</math> für alle <math>i</math> folgt nicht <math>L_2(a_1,\ldots,a_n) \leq L_2(b_1,\ldots,b_n)</math>.

Einzelnachweise

Literatur

D. H. Lehmer: On the compounding of certain means. J. Math. Anal. Appl. 36 (1971) S. 183–200
P. S. Bullen: Handbook of Means and Their Inequalities. Kluwer Acad. Pub. 2003, ISBN 1-4020-1522-4 (umfassende Diskussion von Mittelwerten und den mit ihnen verbundenen Ungleichungen).