Lemma von Urysohn
Das Lemma von Urysohn (auch Urysohnsches Lemma genannt) ist ein fundamentales Theorem aus dem mathematischen Teilgebiet der Allgemeinen Topologie.<ref>Bei H. Schubert, S. 79, wird die Herleitung des Lemmas als bemerkenswerte Konstruktion bezeichnet. Bei Jameson, S. 111, steht dazu: Urysohn’s 'lemma' is undoubtedly one of the best theorems in General Topology.</ref>
Das Lemma ist nach Pavel Urysohn benannt und wurde 1925 veröffentlicht.<ref>Urysohn. In: Mathematische Annalen. Band 94, S. 262 ff.</ref> Es wird vielfach benutzt, um stetige Funktionen mit gewissen Eigenschaften zu konstruieren. Seine breite Anwendungsmöglichkeit basiert darauf, dass viele der wichtigsten topologischen Räume wie die metrischen Räume und die kompakten Hausdorff-Räume die in dem Lemma vorausgesetzte Normalitätseigenschaft besitzen.
Eine Verallgemeinerung stellt der Fortsetzungssatz von Tietze dar. Bei dessen Beweis kommt das Urysohnsche Lemma in entscheidender Weise zum Tragen.
Formulierung des Lemmas
Das Lemma sagt folgendes aus<ref>H. Schubert: Topologie. 1975, S. 80.</ref>:
- Sei <math>X</math> ein normaler Raum, d. h., ein topologischer Raum mit der Eigenschaft, dass je zwei disjunkte abgeschlossene Teilmengen von <math>X</math> disjunkte Umgebungen besitzen, und seien zwei derartige disjunkte abgeschlossene Teilmengen <math>A</math> und <math>B</math> vorgegeben.
- Dann existiert dazu eine stetige Funktion
- <math>f\colon X \rightarrow [0, 1]</math>
- mit <math>f(a) = 0</math> für alle <math>a \in A</math> und <math>f(b) = 1</math> für alle <math>b \in B</math>.
Anmerkungen
1) Eine stetige Funktion <math>f</math> mit den in dem Lemma genannten Eigenschaften nennt man oft eine Urysohn-Funktion zu <math>A</math> und <math>B</math>.<ref>Gerd Laures, Markus Szymik: Grundkurs Topologie. Springer Spektrum, Berlin Heidelberg 2015, ISBN 978-3-662-45952-2, S. 48, doi:10.1007/978-3-662-45953-9.</ref>
2) Das Lemma von Urysohn sagt nichts aus über die Werte der stetigen Funktion <math>f</math> außerhalb der abgeschlossenen Teilmengen <math>A</math> und <math>B</math>, sondern allein, dass <math>A \subseteq f^{-1}(0)</math> und <math>B \subseteq f^{-1}(1)</math> gilt. Im Falle, dass zu disjunkten abgeschlossenen <math>A </math> und <math>B </math> stets ein stetiges <math>f\colon X \rightarrow [0, 1]</math> mit <math>A=f^{-1}(0)</math> und <math>B=f^{-1}(1)</math> zu finden ist, nennt man <math>X</math> einen perfekt normalen Raum.<ref>S. Willard: General Topology. 1970, S. 105.</ref>
3) Für metrische Räume ist eine stetige Funktion <math>f</math> der obigen Art sofort anzugeben. Dazu definiert man zu zwei gegebenen disjunkten abgeschlossenen Teilmengen <math>A \neq \emptyset</math> und <math>B \neq \emptyset</math> von <math>X</math> die Funktion <math>f</math> wie folgt<ref>G. J. O. Jameson: Topology and normed spaces. 1974, S. 112.</ref>:
- <math> x \mapsto f(x) := \frac{d(x,A)}{d(x,A) + d(x,B)} </math> <math> (x \in X)</math>
Dabei ist <math> d(x,Y) </math> der Abstand von <math>x \in X</math> zu <math> Y \subseteq X </math> <math> (Y \neq \emptyset) </math>, also
- <math> d(x,Y) = \operatorname{inf} \{ d(x,y): y \in Y \} </math>.
Die Funktion <math> x \mapsto d(x,Y) </math> ist stetig – sogar gleichmäßig stetig – und dabei gilt:<ref>H. Schubert: Topologie. 1975, S. 78.</ref>
- <math> d(x,Y) = 0 \iff x \in \overline{Y} </math>.
Metrische Räume sind demnach immer perfekt normal.<ref>S. Willard: General Topology. 1970, S. 105.</ref>
Kernaussage des Lemmas
Der Kern des Lemmas von Urysohn liegt in der folgenden Aussage<ref>G. J. O. Jameson: Topology and normed spaces. 1974, S. 111–112.</ref>:
- Sei <math>X</math> ein topologischer Raum und sei <math>D \subseteq \R </math> eine dichte Teilmenge von <math>\R</math>. Darin gegeben sei eine Mengenfamilie <math> (F(d))_{d \in D}</math>, bestehend aus offenen Teilmengen <math> F(d) \subseteq X </math> ( <math> d \in D </math> ), welche folgenden Bedingungen genüge:
- Für <math> d_1, d_2 \in D </math> und <math> d_1 < d_2 </math> sei stets <math> \overline{F(d_1)} \subseteq F(d_2) </math> .
- <math>\bigcap_{d \in D} F(d)= \emptyset </math> .
- <math>\bigcup_{d \in D} F(d)= X </math> .
- Schließlich sei für <math> x \in X </math> folgende Zuordnung definiert:
- <math> x \mapsto f(x) := \operatorname{inf} \{ d \in D : x \in F(d) \} </math>.
- Dann ist durch diese Zuordnung eine stetige Funktion <math>f\colon\, X \to\R </math> gegeben.
Literatur
- Lutz Führer: Allgemeine Topologie mit Anwendungen. Vieweg, Braunschweig 1977, ISBN 3-528-03059-3.
- K. P. Grotemeyer: Topologie (= BI-Hochschultaschenbücher. Band 836). Bibliographisches Institut, Mannheim, Wien, Zürich 1969, ISBN 3-411-00836-9 (zbMATH Open).
- Egbert Harzheim, Helmut Ratschek: Einführung in die Allgemeine Topologie (= Die Mathematik. Einführungen in Gegenstand und Ergebnisse ihrer Teilgebiete und Nachbarwissenschaften). Wissenschaftliche Buchgesellschaft, Darmstadt 1978, ISBN 3-534-06355-4 (MR0380697).
- G. J. O. Jameson: Topology and Normed Spaces. Chapman and Hall, London 1974, ISBN 0-412-12880-2.
- John L. Kelley: General Topology. Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New York 1975, ISBN 3-540-90125-6 (Reprint of the 1955 edition published by Van Nostrand).
- Jun-iti Nagata: Modern General Topology (= North Holland Mathematical Library. Band 33). 2. überarbeitete Auflage. North-Holland Publishing, Amsterdam / New York / Oxford 1985, ISBN 0-444-87655-3 (MR0831659).
- C. Wayne Patty: Foundations of Topology. PWS-Kent Publishing, Boston 1993, ISBN 0-534-93264-9.
- Boto von Querenburg: Mengentheoretische Topologie. 3. neu bearbeitete und erweiterte Auflage. Springer-Verlag, Berlin u. a. 2001, ISBN 3-540-67790-9.
- Willi Rinow: Lehrbuch der Topologie. Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1975.
- Horst Schubert: Topologie. 4. Auflage. B. G. Teubner Verlag, Stuttgart 1975, ISBN 3-519-12200-6.
- Paul Urysohn: Über die Mächtigkeit der zusammenhängenden Mengen. In: Math. Ann. Band 94, 1925, S. 262–295.
- Stephen Willard: General Topology. Addison-Wesley, Reading MA u. a. 1970.
Siehe auch
Weblinks
Einzelnachweise
<references />