Lerchsche Zeta-Funktion
Die Lerchsche Zeta-Funktion (nach Mathias Lerch) ist eine sehr allgemeine Zeta-Funktion. Sehr viele Reihen reziproker Potenzen (einschließlich der hurwitzschen Zeta-Funktion und des Polylogarithmus) können als Spezialfall dieser Funktion dargestellt werden.
Definition
Die komplexe Lerchsche Zetafunktion hat diese Definition:
- <math>L(\lambda, s, \alpha) = \sum_{n=0}^\infty \frac { \exp(2\,\pi\,i\,\lambda\,n)} {(n+\alpha)^s}</math>
Und die sogenannte Lerchsche Transzendente ist so definiert:
- <math>\Phi(z, s, \alpha) = \sum_{n=0}^\infty \frac {z^n} {(n+\alpha)^s}</math>
Beide Funktionen werden als Lerchsche Zeta-Funktionen bezeichnet.
Die Verwandtschaft der beiden ist durch folgende Formel gegeben:
- <math>\,\Phi(\exp (2\,\pi\,\,i\,\lambda), s, \alpha)=L(\lambda, s, \alpha)</math>
Spezialfälle und spezielle Werte
- <math>\,\zeta(s,n)=L(0,s,n)=\Phi(1,s,n)</math>
- Der Polylogarithmus:
- <math>\,\textrm{Li}_s(z)=z\,\Phi(z,s,1)</math>
- <math>\,\chi_n(z)=2^{-n}\,z\,\Phi(z^2,n,\tfrac 12)</math>
- <math>\,\zeta(s)=\Phi (1,s,1)</math>
- <math>\,\eta(s)=\Phi (-1,s,1)</math>
- <math>\beta(s)=2^{-s}\,\Phi(-1,s,\tfrac12)</math>
Außerdem gelten folgende Spezialfälle (Auswahl):<ref>http://functions.wolfram.com/ZetaFunctionsandPolylogarithms/LerchPhi/03/ShowAll.html</ref>
- <math>\Phi(z,s,1)=\frac{\mathrm{Li}_s(z)}z</math>
- <math>\Phi(z,0,a)=\frac1{1-z}</math>
- <math>\Phi(0,s,a)=\left(a^2\right)^{-\frac s2}</math>
- <math>\Phi(0,s,a)=a^{-s}\,</math>
- <math>\Phi(z,1,1)=-\frac{\log(1-z)}z</math>
- <math>\Phi(1,s,\tfrac12)=(2^s-1)\zeta(s)</math>
- <math>\Phi(-1,s,1)=(1-2^{1-s})\zeta(s)\,</math>
- <math>\Phi(0,1,a)=\frac1{\sqrt{a^2}}</math>
Ferner ist
- <math>\begin{align}
&\Phi(-1,2,\tfrac12)&=&\; 4\,G \\ &\frac{\partial\Phi}{\partial s}(-1,-1,1) &=&\; \log\left(\frac{A^3}{\sqrt[3]{2}\,\sqrt[4]{\mathrm e}}\right) \\ &\frac{\partial\Phi}{\partial s}(-1,-2,1) &=&\; \frac{7\,\zeta(3)}{4\,\pi^2} \\ &\frac{\partial\Phi}{\partial s}(-1,-1,\tfrac12) &=&\; \frac{G}\pi \end{align}</math>
mit der catalanschen Konstanten <math>G</math>, der Glaisher-Kinkelin-Konstanten <math>A</math> und der Apéry-Konstanten <math>\zeta(3)</math> der Riemannschen Zeta-Funktion.
Weitere Formeln
Integraldarstellungen
Eine mögliche Integraldarstellung lautet
- <math>\Phi(z,s,a)=\frac1{\Gamma(s)}\int\limits_0^\infty \frac{t^{s-1}\mathrm{e}^{-at}}{1-z\,\mathrm{e}^{-t}}\,\mathrm dt \qquad\quad</math> für <math>\begin{cases} & \mathrm{Re}\;a>0 \text{ und } \mathrm{Re}\;s>0 \text{ und } z<1 \\ \text{oder } & \mathrm{Re}\;a>0 \text{ und } \mathrm{Re}\;s>1\text{ und }z=1\end{cases}</math>
Das Kurvenintegral
- <math>\Phi(z,s,a)=-\frac{\Gamma(1-s)}{2\,\pi\, i}\int\limits_0^\infty \frac{(-t)^{s-1}\mathrm{e}^{-a\,t}}{1-z\,\mathrm{e}^{-t}}\,\mathrm dt</math>
mit <math>\mathrm{Re}\;a>0,\;\mathrm{Re}\;s<0,\;z<1</math> darf die Punkte <math>t=\log z+2\,k\,\pi\,i,\;k\in\Z</math> nicht enthalten.
Ferner ist
- <math>\Phi(z,s,a)=\frac{1}{2\,a^s}+\int\limits_0^\infty\frac{z^t}{(a+t)^s}\,\mathrm dt+\frac2{a^{s-1}}\int\limits_0^\infty \frac{\sin(s\arctan t-a\,t\log z)}{(1+t^2)^{s/2}\cdot (\mathrm{e}^{2\,\pi\,a\,t}-1)}\,\mathrm dt</math>
für <math>\mathrm{Re}\;a>0</math> und <math>|z|<1</math>.
Ebenso ist
- <math>\Phi(z,s,a)=\frac1{2\,a^s}+\frac{\log^{s-1}\dfrac1z}{z^a}\,\Gamma(1-s,a\log\dfrac1z)+\frac2{a^{s-1}}\int\limits_0^\infty \frac{\sin(s\arctan t-a\,t\log z)}{(1+t^2)^{s/2}\cdot (\mathrm{e}^{2\,\pi\,a\,t}-1)}\,\mathrm dt</math>
für <math>\mathrm{Re}\,a>0</math>.
Reihendarstellungen
Eine Reihendarstellung für die Lerchsche Zeta-Funktion ist
- <math>\Phi(z,s,q)=\frac{1}{1-z}\sum_{n=0}^\infty \left(\frac{-z}{1-z} \right)^n\sum_{k=0}^n (-1)^k {n \choose k} (q+k)^{-s}.</math>
Sie gilt für alle <math>s</math> und komplexe <math>z</math> mit <math>\mathrm{Re}\,z<\tfrac12</math>; man vergleiche dazu die Reihendarstellung der hurwitzschen Zeta-Funktion.
Falls <math>s</math> positiv und ganz ist, gilt
- <math>\Phi(z,n,a)=z^{-a}\left\{\sum_{{k=0}\atop k\neq n-1}^\infty\zeta(n-k,a)\frac{\log^k z}{k!}+\left[\Psi(n)-\Psi(a)-\log(-\log z)\right]\frac{\log^{n-1} z}{(n-1)!}\right\}.</math>
Eine Taylorreihe der dritten Variablen ist durch
- <math>\Phi(z,s,a+x)=\sum_{k=0}^\infty\Phi(z,s+k,a)(s,k)\frac{(-x)^k}{k!}</math>
für <math>|x|<\mathrm{Re}\,a</math> unter Verwendung des Pochhammer-Symbol <math>(s,k)</math> gegeben.
Im Grenzwert <math>a\rightarrow-n</math> gilt
- <math>\Phi(z,s,a)=\sum_{k=0}^n\frac{z^k}{(a+k)^s}+z^n\sum_{m=0}^\infty(1-m-s,m)\,\mathrm{Li}_{s+m}(z)\frac{(a+n)^m}{m!}</math>.
Der Spezialfall <math>n=0</math> hat folgende Reihe:
- <math>\Phi(z,s,a)=\frac{1}{a^s}+\sum_{m=0}^\infty(1-m-s,m)\,\mathrm{Li}_{s+m}(z)\frac{a^m}{m!}</math>
für <math>|a|<1</math>.
Die asymptotische Entwicklung für <math>s\rightarrow-\infty</math> ist gegeben durch
- <math>\Phi(z,s,a)=z^{-a}\,\Gamma(1-s)\sum_{k=-\infty}^\infty\left[2\,k\,\pi\,i-\log z\right]^{s-1}\mathrm{e}^{2\,k\,\pi\,a\,i}</math>
für <math>|a|<1,\;\mathrm{Re}\;s<0,\; z\notin (-\infty,0)</math> und
- <math>\Phi(-z,s,a)=z^{-a}\,\Gamma(1-s)\sum_{k=-\infty}^\infty\left[(2\,k+1)\pi\,i-\log z\right]^{s-1}\mathrm{e}^{(2\,k+1)\pi\,a\,i}</math>
wenn <math>|a|<1,\;\mathrm{Re}\,s<0,\; z\notin (0,\infty)</math>.
Unter Verwendung der unvollständigen Gammafunktion gilt
- <math>\Phi(z,s,a)=\frac1{2\,a^s}+\frac1{z^a}\sum_{k=1}^\infty \frac{\mathrm{e}^{-2\,\pi\,i\,(k-1)a}\,\Gamma(1-s,a\,(-2\,\pi\,i\,(k-1)-\log z))}{(-2\,\pi\,i\,(k-1)-\log z)^{1-s}}+\frac{\mathrm{e}^{2\,\pi\,i\,k\,a}\,\Gamma(1-s,a\,(2\,\pi\,i\,k-\log z))}{(2\,\pi\,i\,k-\log z)^{1-s}}</math>
mit <math>|a|<1</math> und <math>\mathrm{Re}\,s<0</math>.
Identitäten und weitere Formeln
- <math>\Phi(z,s,a)=z^n\,\Phi(z,s,a+n) + \sum_{k=0}^{n-1} \frac {z^k}{(k+a)^s}</math>
- <math>\Phi(z,s-1,a)=\left(a+z\frac{\partial}{\partial z}\right) \Phi(z,s,a)</math>
- <math>\Phi(z,s+1,a)=-\,\frac{1}{s}\,\frac{\partial}{\partial a} \Phi(z,s,a)</math>
Ferner gilt für die Integraldarstellung mit <math>\{z\in\Complex\,\setminus [1,\infty) \text{ und } \mathrm{Re}\;s>-2 \}</math> oder <math>\{ z=1\text{ und Re}\;s>-1\}</math><ref>Guillera, Sondow 2008, Theorem 3.1 (siehe Lit.)</ref>
- <math>\int\limits_0^1\int\limits_0^1 \frac{x^{u-1}\cdot y^{v-1}}{1-x\,y\,z} (-\log(x\,y))^s\,\mathrm dx\,\mathrm dy =\Gamma(s+1)\,\frac{\Phi(z,s+1,v)-\Phi(z,s+1,u)}{u-v}</math>
und
- <math>\int\limits_0^1\int\limits_0^1 \frac{(x\,y)^{u-1}}{1-x\,y\,z} (-\log(x\,y))^s\,\mathrm dx\,\mathrm dy =\Gamma(s)\,\Phi(z,s+2,u)</math>.
Literatur
- Mathias Lerch: Démonstration élémentaire de la formule: <math>\textstyle \frac{\pi^2}{\sin^2{\pi x}}=\sum_{\nu=-\infty}^{\infty}\frac{1}{(x+\nu)^2}</math>, L'Enseignement Mathématique 5(1903): S. 450–453
- M. Jackson: On Lerch's transcendent and the basic bilateral hypergeometric series <math>{}_2\psi_2</math>, J. London Math. Soc. 25 (3), 1950: S. 189–196
- Jesús Guillera, Jonathan Sondow: Double integrals and infinite products for some classical constants via analytic continuations of Lerch's transcendent. In: Ramanujan J. Band 16, Nummer 3, 2008, Seiten 247–270; vgl. in arxiv
- Antanas Laurinčikas und Ramūnas Garunkštis: The Lerch zeta-function, Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, 2002, ISBN 978-1-4020-1014-9 online
Weblinks
- Ramunas Garunkstis: Home Page (Referenzensammlung)
- Ramunas Garunkstis, Approximation of the Lerch Zeta Function (PDF; 112 kB)
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Einzelnachweise
<references/>
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