Liste der Quantengatter

Die Notation für Quantengatter wurde von den Begründern der Quanteninformatik, daruntern Adriano Barenco, Charles Bennett, Richard Cleve, David P. DiVincenzo, Norman Margolus, Peter Shor, Tycho Sleator, John A. Smolin und Harald Weinfurter entwickelt.<ref name="Barenco">{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref>

Dies ist eine Auflistung verschiedener Quantengatter und deren Funktion.

Quantengatter mit einem Eingang

Quantengatter, die sich auf einzelne Quantenbits beziehen
Symbol und Funktion¹	Bezeichnung	Funktion	Beschreibung
Datei:Quantengatter I.png	Identität	<math>\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}</math>	Identität des hyperkomplexen Eingangs und daher keine Veränderung am Quantenzustand
Datei:Quantengatter X.png	Pauli-X-Gatter Nicht-Gatter	<math>\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = \left\| 1 \right\rangle \left\langle 0 \right\| + \left\| 0 \right\rangle \left\langle 1 \right\|</math>	Spiegelung des hyperkomplexen Eingangs an der X-Achse Beispiel: <math>X \left\| 0 \right\rangle = \left\| 1 \right\rangle</math>
Datei:Quantengatter Y.png	Pauli-Y-Gatter	<math>\begin{pmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{pmatrix} = i \left\| 1 \right\rangle \left\langle 0 \right\| - i \left\| 0 \right\rangle \left\langle 1 \right\|</math>	Spiegelung des hyperkomplexen Eingangs an der Y-Achse Beispiel: <math>Y \left\| 0 \right\rangle = i \left\| 1 \right\rangle</math>
Datei:Quantengatter Z.png	Pauli-Z-Gatter	<math>\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} = \left\| 0 \right\rangle \left\langle 0 \right\| - \left\| 1 \right\rangle \left\langle 1 \right\|</math>	Spiegelung des hyperkomplexen Eingangs an der Z-Achse
Datei:Quantengatter H.png	Hadamard-Gatter	<math>\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}</math>	Spiegelung des hyperkomplexen Eingangs an der X+Z-Achse
Datei:Quantengatter RX.png	X-Rotationsgatter	<math>\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \begin{pmatrix} 1 & -i \\ -i & 1 \end{pmatrix}</math>	Dreht den komplexen Eingang 90° (π/2) um die X-Achse Auch als <math>\sqrt{\mathrm{NOT}}</math>-Gatter bezeichnet.
Datei:Quantengatter RY.png	Y-Rotationsgatter	<math>\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}</math>	Dreht den hyperkomplexen Eingang 90° (π/2) um die Y-Achse
Datei:Quantengatter -RX.png	(−X)-Rotationsgatter	<math>\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \begin{pmatrix} 1 & i \\ i & 1 \end{pmatrix}</math>	Dreht den komplexen Eingang −90° (−π/2) um die X-Achse
Datei:Quantengatter -RY.png	(−Y)-Rotationsgatter	<math>\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}</math>	Dreht den hyperkomplexen Eingang −90° (−π/2) um die Y-Achse
Datei:Quantengatter S.png	S-Gatter, Phasengatter	<math>\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & i \end{pmatrix} = \left\| 0 \right\rangle \left\langle 0 \right\| + i \left\| 1 \right\rangle \left\langle 1 \right\|</math>	Dreht die Phase 90° (π/2) um die Z-Achse Auch als <math>\sqrt{\mathrm{Z}}</math>-Gatter bezeichnet.
Datei:Quantengatter T.png	T-Gatter, π/8-Gatter Phasen(schieber)gatter	<math>\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & e^{\frac{i \pi}{4}} \end{pmatrix} = \left\| 0 \right\rangle \left\langle 0 \right\| + e^{\frac{i \pi}{4}} \left\| 1 \right\rangle \left\langle 1 \right\|</math>	Dreht die Phase 45° (π/4) um die Z-Achse Auch als <math>\sqrt{\mathrm{S}}</math>-Gatter bezeichnet.
Datei:Quantengatter 1.png	Allgemeines Phasen(schieber)gatter^2,3.	<math>\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & e^{\frac{i \pi}{2^k}} \end{pmatrix} = \left\| 0 \right\rangle \left\langle 0 \right\| + e^{\frac{i \pi}{2^k}} \left\| 1 \right\rangle \left\langle 1 \right\|</math>	k wird willkürlich festgelegt Dreht die Phase π/2^k um die Z-Achse.
Datei:Quantengatter U.png	Willkürliches unitäres Gatter³	a\right\|^2+\left\|b\right\|^2=1</math>	Alle Eigenschaften werden willkürlich festgelegt
¹Am Beispiel drei verschiedener Eingangssignale mit verschiedenen Spins und deren Lage nach dem Durchqueren des Gatters. Die Z-Achse (am Eingang Blau) gibt den reellen Wert, die X- (am Eingang Rot) und Y-Achse (am Eingang Grün) die Phasenlage wieder. Der Eingang ist mit A, der Ausgang mit A' gekennzeichnet. Siehe auch: Bloch-Kugel ²Ausgang dargestellt für die Werte k = 0, k = 1 und k = 2 ³Ausgang abhängig von den verwendeten Parametern

Quantengatter mit zwei Eingängen

Quantengatter, die sich auf zwei Quantenbits beziehen
Symbol	Bezeichnung	Funktion	Beschreibung
Datei:CNOT gate.svg	Kontrolliertes-Nicht-Gatter (CNOT, XOR-Verknüpfung)	00 \right\rangle \to \left\| 00 \right\rangle</math> <math>\left\| 01 \right\rangle \to \left\| 01 \right\rangle</math> <math>\left\| 10 \right\rangle \to \left\| 11 \right\rangle</math> <math>\left\| 11 \right\rangle \to \left\| 10 \right\rangle</math> Matrixdarstellung <math>\begin{pmatrix} 1&0&0&0\\ 0&1&0&0\\ 0&0&0&1\\ 0&0&1&0\\ \end{pmatrix}</math>	Der reelle Wert des zweiten Qubits (Zielqubit B) wird in Abhängigkeit vom reellen Wert des ersten Qubits (Kontrollqubit A) entweder beibehalten (A=0) oder negiert (A=1). <math>B' \leftarrow A \oplus B = \left( \neg A \land B \right) \vee \left( \neg B \land A \right)</math> Der Wert des ersten Qubits wird beibehalten. <math>A' \leftarrow A \,</math>
Datei:Swap gate.svg	Austauschknoten („Swap“)	00 \right\rangle \to \left\| 00 \right\rangle</math> <math>\left\| 01 \right\rangle \to \left\| 10 \right\rangle</math> <math>\left\| 10 \right\rangle \to \left\| 01 \right\rangle</math> <math>\left\| 11 \right\rangle \to \left\| 11 \right\rangle</math> Matrixdarstellung: <math>\begin{pmatrix} 1&0&0&0\\ 0&0&1&0\\ 0&1&0&0\\ 0&0&0&1 \end{pmatrix}</math>	Die beiden Eingangs-Qubits werden vertauscht
Datei:Qcircuit SqrtSwap.svg	Wurzel Swap	<math>\begin{pmatrix} 1&0&0&0\\0&\frac12(1+i)&\frac12(1-i)&0\\0&\frac12(1-i)&\frac12(1+i)&0\\0&0&0&1\end{pmatrix} </math>	Universelles Gatter, das die Eingangs-Qubits halb vertauscht
Datei:Qcircuit CZ.svg	Kontrollierter Z-flip (CZ)	11 \right\rangle } \to - { \left\| 11 \right\rangle } </math>	Auch als kontrolliertes Z-Gatter, kontrollierter Phasenflip (CPF) oder controlled-SIGN (CSIGN) bezeichnet
Datei:Quantengatter Controlled-Phase.png	Kontrollierte Phase (C-Phase)	11 \right\rangle } \to e^{\frac{2 i \pi}{2^k} } \cdot { \left\| 11 \right\rangle } </math>	<math>k</math> kann beliebig gewählt werden.
Datei:Controlled gate.svg	Kontrolliertes <math>U</math>	0\phi \right\rangle \to \left\| 0 \phi \right\rangle</math> <math>\left\| 1\phi \right\rangle \to \left\| 1 \right\rangle\begin{pmatrix} x_{00} & x_{10} \\ x_{01} & x_{11} \end{pmatrix} \cdot \left\| \phi \right\rangle</math> Matrixdarstellung: <math>\begin{pmatrix} 1&0&0&0 \\ 0&1&0&0 \\ 0&0&x_{00}&x_{10} \\ 0&0&x_{01}&x_{11} \\ \end{pmatrix}</math> Dirac-Darstellung: <math>\left\| 00 \right\rangle \left\langle 00 \right\|</math> + <math>\left\| 01 \right\rangle \left\langle 01 \right\|</math> + <math>x_{00} \left\| 10 \right\rangle \left\langle 10 \right\|</math> + <math>x_{01} \left\| 10 \right\rangle \left\langle 11 \right\|</math> + <math>x_{10} \left\| 11 \right\rangle \left\langle 10 \right\|</math> + <math>x_{11} \left\| 11 \right\rangle \left\langle 11 \right\|</math>	Das zweite Qubit wird gemäß der unitären Abbildung <math>U</math> transformiert falls das erste Qubit den Wert „1“ hat und bleibt ansonsten unverändert. (C-NOT und C-Phase sind Spezialfälle von C-U)
Datei:Quantengatter Transformation.png	Beliebige unitäre Transformation	\psi \right\rangle \to U \cdot \left\| \psi \right\rangle</math>	Die unabhängigen Variablen der komplexen unitären 4x4-Matrix (16 reelle Parameter) können beliebig gewählt werden. Auf diese Weise kann man alle Wechselwirkungen zwischen den beiden Qubits beschreiben.

Quantengatter mit drei Eingängen

Quantengatter, die sich auf drei Quantenbits beziehen.
Symbol	Bezeichnung	Funktion	Beschreibung
Datei:Toffoli gate.svg	Toffoli-Gatter	<math>\left\| 111 \right\rangle \leftrightarrow \left\| 110 \right\rangle</math> <math>\left\| 0yx \right\rangle \leftrightarrow \left\| 0yx \right\rangle</math> <math>\left\| 10x \right\rangle \leftrightarrow \left\| 10x \right\rangle</math> <math>\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x \\ x \oplus y \end{pmatrix}</math> Matrixdarstellung: <math>\begin{pmatrix} 1&0&0&0&0&0&0&0 \\ 0&1&0&0&0&0&0&0 \\ 0&0&1&0&0&0&0&0 \\ 0&0&0&1&0&0&0&0 \\ 0&0&0&0&1&0&0&0 \\ 0&0&0&0&0&1&0&0 \\ 0&0&0&0&0&0&0&1 \\ 0&0&0&0&0&0&1&0 \end{pmatrix}</math>	Die ersten beiden Qubits (A und B) bleiben unverändert. <math>A' \leftarrow A\,</math> <math>B' \leftarrow B\,</math> Der reelle Wert des dritten Qubits (C) wird negiert, wenn der reelle Wert der ersten beiden Qubits positiv (d. h. logisch 1) ist. <math>C' \leftarrow C \oplus \left( A \land B \right)\,</math> Das Toffoli-Gatter kann logische AND-, XOR-, NOT- und FANOUT-Operationen durchführen, wodurch es universell für klassische Berechnungen eingesetzt werden kann.
Datei:Fredkin gate.svg	Fredkin-Gatter	001 \right\rangle \leftrightarrow \left\| 010 \right\rangle</math> <math>\left\| 010 \right\rangle \leftrightarrow \left\| 001 \right\rangle</math> <math>\left\| 101 \right\rangle \leftrightarrow \left\| 101 \right\rangle</math> <math>\left\| 110 \right\rangle \leftrightarrow \left\| 110 \right\rangle</math> …	Das Fredkin-Gatter vertauscht das zweite und dritte Qubit, wenn der reelle Wert des ersten Qubits negativ (d. h. logisch 0) ist.
Datei:Quantengatter Deutsch-Gate.png	Deutsch-Gatter	11x \rangle \rightarrow	11(1-x)\rangle \cdot \sin(\theta) + i \cdot \|11x \rangle \cdot \cos(\theta)</math>	Das Deutsch-Gatter ist ein universelles Drei-Qubit-Gatter, mit dem beliebige Wechselwirkungen der ersten beiden Qubits auf das dritte Qubit erfolgen können. Die ersten beiden Qubits werden nicht verändert.¹

Siehe auch

Einzelnachweise