Lot (Mathematik)

Lot <math>l</math> von einem Punkt <math>P</math> auf eine Gerade <math>g</math> mit Fußpunkt <math>L</math>

Ein Lot ist in der Geometrie eine Strecke oder Gerade, die auf einer gegebenen Geraden oder Ebene senkrecht steht. Je nachdem, ob es sich um eine Gerade oder um eine Strecke handelt, spricht man auch von Lotgerade oder Lotstrecke. Der Schnittpunkt des Lots mit der gegebenen Geraden oder Ebene wird Lotfußpunkt oder Fußpunkt<ref>Siehe hierzu Duden Bedeutungen (2), in der Fachliteratur werden beide Begriffe synonym verwendet.</ref> genannt. Eine Ebene, die senkrecht zu einer Geraden steht, heißt Lotebene.

Das Lot einer Geraden durch einen gegebenen Punkt kann auf verschiedene Weisen mit Zirkel und Lineal geometrisch konstruiert werden. Je nachdem, ob der Punkt auf der Geraden liegt oder nicht, handelt es sich um das Errichten oder Fällen des Lots. Berechnet werden kann das Lot in der analytischen Geometrie mit Hilfe der Vektorrechnung und des Skalarprodukts.

Die Lotstrecke von einem Punkt auf eine Gerade oder Ebene ist die kürzeste Verbindungsstrecke zwischen dem Punkt und der Gerade. Seine Länge definiert deshalb den Abstand (Normalabstand) des Punkts von der Gerade oder Ebene.

Spezielle Lotgeraden oder Lotebenen sind die Mittelsenkrechten zweier Punkte in der Ebene bzw. im Raum.

Definition

Eine Strecke oder Gerade <math>l</math> heißt Lot auf eine Gerade <math>g</math> oder Ebene <math>E</math>, wenn

gilt, wenn sie also senkrecht auf der Geraden oder Ebene steht, also mit ihr einen rechten Winkel bildet. Der Fußpunkt ist dann der Schnittpunkt <math>l \cap g</math> bzw. <math>l \cap E</math> des Lots mit der Geraden oder Ebene.<ref>{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref><ref>{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref> Umgekehrt heißt die Ebene <math>E</math> Lotebene zur Geraden <math>l</math>.<ref>{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref>

Geometrische Konstruktionen

Errichten des Lots

{{#if: |

{{{Kopfzeile}}}

}}{{#ifeq: | vertical

|

[[Datei:{{#if: 01-Errichten eines Lots.svg

                       | 01-Errichten eines Lots.svg
                       | Vorlage:Platzhalterbild/file

}}|{{#if: | {{{Breite}}} | 150 }}px{{#if: | |alt= }}{{#if: | |class= }}{{#if: Errichten eines Lots als Mittelsenkrechte zweier Punkte | |Errichten eines Lots als Mittelsenkrechte zweier Punkte }}]]

{{#if: Vorlage:Mehrere Bilder/Align |

{{#if: {{#invoke:Expr|TemplateBooland}} | Errichten eines Lots als Mittelsenkrechte zweier Punkte }}

}}

[[Datei:{{#if: 01-Rechter Winkel mittels Thaleskreis.svg

                       | 01-Rechter Winkel mittels Thaleskreis.svg
                       | Vorlage:Platzhalterbild/file

}}|{{#if: | {{{Breite}}} | 150 }}px{{#if: | |alt= }}{{#if: | |class= }}{{#if: {{#if: Errichten eines Lots mithilfe des Thaleskreises, die Position des Punktes <math>M</math> ist frei wählbar. | Errichten eines Lots mithilfe des Thaleskreises, die Position des Punktes <math>M</math> ist frei wählbar. | Errichten eines Lots als Mittelsenkrechte zweier Punkte }} | |{{#if: Errichten eines Lots mithilfe des Thaleskreises, die Position des Punktes <math>M</math> ist frei wählbar. | Errichten eines Lots mithilfe des Thaleskreises, die Position des Punktes <math>M</math> ist frei wählbar. | Errichten eines Lots als Mittelsenkrechte zweier Punkte }} }}]]

{{#if: Vorlage:Mehrere Bilder/Align |

{{#if: {{#invoke:Expr|TemplateBooland}} | Errichten eines Lots mithilfe des Thaleskreises, die Position des Punktes <math>M</math> ist frei wählbar. }}

}}

{{#if: |

[[Datei:{{{Bild3}}}|{{#if: | {{{Breite}}} | 150 }}px{{#if: | |alt={{{Alt3}}} }}{{#if: | |class={{{Class3}}} }}{{#if: | |{{{Beschreibung3}}} }}]]

{{#if: Vorlage:Mehrere Bilder/Align |

{{{Untertitel3}}}

}}

      }}{{#if:

|

[[Datei:{{{Bild4}}}|{{#if: | {{{Breite}}} | 150 }}px{{#if: | |alt={{{Alt4}}} }}{{#if: | |class={{{Class4}}} }}{{#if: | |{{{Beschreibung4}}} }}]]

{{#if: Vorlage:Mehrere Bilder/Align |

{{{Untertitel4}}}

}}

      }}{{#if:

|

[[Datei:{{{Bild5}}}|{{#if: | {{{Breite}}} | 150 }}px{{#if: | |alt={{{Alt5}}} }}{{#if: | |class={{{Class5}}} }}{{#if: | |{{{Beschreibung5}}} }}]]

{{#if: Vorlage:Mehrere Bilder/Align |

{{{Untertitel5}}}

}}

}}

|

[[Datei:{{#if: 01-Errichten eines Lots.svg

                     | 01-Errichten eines Lots.svg
                     | Vorlage:Platzhalterbild/file

}}|{{#if: | {{{Breite}}} | {{#if: {{#if: 230 | 230 | 120 }} | {{#if: 230 | 230 | 120 }} | 150 }} }}px{{#if: | |alt= }}{{#if: | |class= }}{{#if: Errichten eines Lots als Mittelsenkrechte zweier Punkte | |Errichten eines Lots als Mittelsenkrechte zweier Punkte }}]]

{{#if:

                 |
                 | {{#if: Vorlage:Mehrere Bilder/Align

|

{{#if: {{#invoke:Expr|TemplateBooland}} | Errichten eines Lots als Mittelsenkrechte zweier Punkte }}

}}

}}

[[Datei:{{#if: 01-Rechter Winkel mittels Thaleskreis.svg

                      | 01-Rechter Winkel mittels Thaleskreis.svg
                      | Vorlage:Platzhalterbild/file

}}|{{#if: | {{{Breite}}} | {{#if: {{#if: 281 | 281 | 120 }} | {{#if: 281 | 281 | 120 }} | 150 }} }}px{{#if: | |alt= }}{{#if: | |class= }}{{#if: {{#if: Errichten eines Lots mithilfe des Thaleskreises, die Position des Punktes <math>M</math> ist frei wählbar. | Errichten eines Lots mithilfe des Thaleskreises, die Position des Punktes <math>M</math> ist frei wählbar. | Errichten eines Lots als Mittelsenkrechte zweier Punkte }} | |{{#if: Errichten eines Lots mithilfe des Thaleskreises, die Position des Punktes <math>M</math> ist frei wählbar. | Errichten eines Lots mithilfe des Thaleskreises, die Position des Punktes <math>M</math> ist frei wählbar. | Errichten eines Lots als Mittelsenkrechte zweier Punkte }} }}]]

{{#if:

                 |
                 | {{#if: Vorlage:Mehrere Bilder/Align

|

{{#if: {{#invoke:Expr|TemplateBooland}} | Errichten eines Lots mithilfe des Thaleskreises, die Position des Punktes <math>M</math> ist frei wählbar. }}

}}

}}

{{#if: |

[[Datei:{{{Bild3}}}|{{#if: | {{{Breite}}} | {{#if: | {{{Breite3}}} | 150 }} }}px{{#if: | |alt={{{Alt3}}} }}{{#if: | |class={{{Class3}}} }}{{#if: | |{{{Beschreibung3}}} }}]]

{{#if:

                     |
                     | {{#if: Vorlage:Mehrere Bilder/Align

|

{{{Untertitel3}}}

}}

}}

      }}{{#if:

|

[[Datei:{{{Bild4}}}|{{#if: | {{{Breite}}} | {{#if: | {{{Breite4}}} | 150 }} }}px{{#if: | |alt={{{Alt4}}} }}{{#if: | |class={{{Class4}}} }}{{#if: | |{{{Beschreibung4}}} }}]]

{{#if:

                     |
                     | {{#if: Vorlage:Mehrere Bilder/Align

|

{{{Untertitel4}}}

}}

}}

      }}{{#if:

|

[[Datei:{{{Bild5}}}|{{#if: | {{{Breite}}} | {{#if: | {{{Breite5}}} | 150 }} }}px{{#if: | |alt={{{Alt5}}} }}{{#if: | |class={{{Class5}}} }}{{#if: | |{{{Beschreibung5}}} }}]]

{{#if:

                     |
                     | {{#if: Vorlage:Mehrere Bilder/Align

|

{{{Untertitel5}}}

}}

}}

}}

{{#ifeq: | vertical

 |
 | {{#if:

|

Vorlage:Mehrere Bilder/Align

{{#if: |

Vorlage:Mehrere Bilder/Align

       }}{{#if:

|

Vorlage:Mehrere Bilder/Align

       }}{{#if:

|

Vorlage:Mehrere Bilder/Align

       }}
   }}

}}

{{#if: {{#if: {{#invoke:Expr|TemplateBooland}} | | {{#if: Errichten eines Lots als Mittelsenkrechte zweier Punkte | Errichten eines Lots als Mittelsenkrechte zweier Punkte }} }}

|

{{#if: {{#invoke:Expr|TemplateBooland}} | | {{#if: Errichten eines Lots als Mittelsenkrechte zweier Punkte | Errichten eines Lots als Mittelsenkrechte zweier Punkte }} }}

}}

{{#if: {{#invoke:Expr|TemplateBooland}}

    |
    | {{#ifeq: 0 | 0
        | 
      }}
  }}

Ist ein Punkt <math>P</math> auf der Geraden <math>g</math> gegeben, dann findet man die Lotgerade durch diesen Punkt wie folgt:

Man sticht den Zirkel in den Punkt <math>P</math> ein und bestimmt durch Ziehen eines Kreisbogens mit beliebigem Radius zwei Punkte auf <math>g</math> mit gleichem Abstand zu <math>P</math>. Dann vergrößert man den Winkel des Zirkels, sticht ihn jeweils in einen der beiden gefundenen Punkte auf <math>g</math> ein und findet durch Ziehen zweier Kreisbögen einen Punkt (von zwei möglichen) außerhalb der Geraden <math>g</math> mit gleichem Abstand von den beiden Punkten. Die Gerade, die durch diesen Punkt und den gegebenen Punkt <math>P</math> verläuft, ist dann die Lotgerade zu <math>g</math> durch <math>P</math>.

Eine Alternative, auf einer Geraden <math>g</math> durch den Punkt <math>P</math> mit eingeschränkten Platzverhältnissen ein Lot zu errichten, zeigt das rechte Bild. Man schlägt dazu um einen frei wählbaren Punkt <math>M</math> einen Kreisbogen mit dem Radius <math>\overline{MP}</math>, bis er die Gerade <math>g</math> in <math>A</math> schneidet (bspw. kann man <math>M</math> so wählen, dass eine gedachte Linie von <math>M</math> zu <math>P</math> mit der Geraden <math>g</math> einen Winkel von ca. 45° bildet). Dann zieht man die Gerade von <math>A</math> durch <math>M</math>, bis sie den Kreisbogen in <math>P'</math> schneidet. Die abschließende Gerade, die durch <math>P</math> und <math>P'</math> verläuft, ist dann die Lotgerade zu <math>g</math> durch <math>P</math>.<ref>{{#if:|{{#iferror: {{#iferror:{{#invoke:Vorlage:FormatDate|Execute}}|Vorlage:FormatDate/Wartung/Error}}| |}}}}{{#if:Philipp Schrenk|Philipp Schrenk: }}{{#if:|{{#if:Konstruktion eines rechten Winkels 2|[{{#invoke:Vorlage:Internetquelle|archivURL|1={{#invoke:URLutil|getNormalized|1={{{archiv-url}}}}}}} {{#invoke:Vorlage:Internetquelle|TitelFormat|titel=Konstruktion eines rechten Winkels 2}}]{{#if:PDF| (PDF)}}{{#if:| {{{titelerg}}}{{#invoke:Vorlage:Internetquelle|Endpunkt|titel={{{titelerg}}}}}}}}}|{{#if:https://www.mathetreff-online.de/sites/default/files/pdf/matheaufgaben/konstruktionen/grundlagen/konstruktion_eines_rechten_winkels_2.pdf%7C{{#if:{{#invoke:TemplUtl%7Cfaculty%7C}}%7C{{#invoke:Vorlage:Internetquelle%7CTitelFormat%7Ctitel={{#invoke:WLink%7CgetEscapedTitle%7C1=Konstruktion eines rechten Winkels 2}}}}|[{{#invoke:URLutil|getNormalized|1=https://www.mathetreff-online.de/sites/default/files/pdf/matheaufgaben/konstruktionen/grundlagen/konstruktion_eines_rechten_winkels_2.pdf}} {{#invoke:Vorlage:Internetquelle|TitelFormat|titel={{#invoke:WLink|getEscapedTitle|1=Konstruktion eines rechten Winkels 2}}}}]}}{{#if:PDF| (PDF{{#if:mathetreff-online.de1–2{{#if: 2025-06-23 | {{#if:{{#invoke:TemplUtl|faculty|}}||1}}}}

          | )
          | {{#if:{{#ifeq:de|de||{{#if:|1}}}}| ; 
              | )}}}}}}{{#if:| {{{titelerg}}}{{#invoke:Vorlage:Internetquelle|Endpunkt|titel={{{titelerg}}}}}}}}}}}{{#if:https://www.mathetreff-online.de/sites/default/files/pdf/matheaufgaben/konstruktionen/grundlagen/konstruktion_eines_rechten_winkels_2.pdf%7C{{#if:{{#invoke:URLutil%7CisResourceURL%7C1=https://www.mathetreff-online.de/sites/default/files/pdf/matheaufgaben/konstruktionen/grundlagen/konstruktion_eines_rechten_winkels_2.pdf}}%7C%7C URL ungültig}}}}{{#if:Konstruktion eines rechten Winkels 2|{{#if:{{#invoke:WLink|isValidLinktext|1=Konstruktion eines rechten Winkels 2|lines=0}}|| Linktext ungültig}}}}{{#if: mathetreff-online.de| In: {{#invoke:Vorlage:Internetquelle|TitelFormat|titel=mathetreff-online.de}}}}{{#if: | {{{hrsg}}}{{#if: 1–2|,|{{#if: 2025-06-23 | {{#if:{{#invoke:TemplUtl|faculty|}}|;|,}}}}}}}}{{#if: | {{#if:{{#invoke:DateTime|format|{{{datum}}}|noerror=1}}
            |{{#invoke:DateTime|format|{{{datum}}}|T._Monat JJJJ}}
            |{{#invoke:TemplUtl|failure|1=Fehler bei Vorlage:Internetquelle, datum={{{datum}}}|class=Zitationswartung}} }}{{#if: 1–2|,|{{#if: 2025-06-23 | {{#if:{{#invoke:TemplUtl|faculty|}}|;|,}}}}}}}}{{#if: 1–2| S. 1–2{{#if: |,|{{#if: 2025-06-23 | {{#if:{{#invoke:TemplUtl|faculty|}}|;|,}}}}}}}}{{#if: {{#invoke:TemplUtl|faculty|}}| {{#if:1–2|{{#if:|archiviert|ehemals}}|{{#if:|Archiviert|Ehemals}}}} {{#if:|vom|im}} Vorlage:Referrer{{#if:{{#invoke:TemplUtl|faculty|}}| (nicht mehr online verfügbar)}}{{#if: | am {{#iferror: {{#iferror:{{#invoke:Vorlage:FormatDate|Execute}}|Vorlage:FormatDate/Wartung/Error}}|{{{archiv-datum}}}{{#if:53360||(?)}}}}}}{{#if: 2025-06-23|;}}}}{{#if: 2025-06-23| {{#if:1–2{{#invoke:TemplUtl|faculty|}}|abgerufen|Abgerufen}} {{#switch: {{#invoke:Str|len| {{#invoke:DateTime|format| 2025-06-23 |ISO|noerror=1}} }}
       |4=im Jahr
       |7=im
       |10=am
       |#default={{#invoke:TemplUtl|failure|1=Fehler bei Vorlage:Internetquelle, abruf=2025-06-23|class=Zitationswartung}} }} {{#invoke:DateTime|format|2025-06-23|T._Monat JJJJ}}
    | {{#invoke:TemplUtl|failure|1=Vorlage:Internetquelle | abruf=2026-MM-TT ist Pflichtparameter}} Vorlage:Internetquelle | abruf=2026-MM-TT ist Pflichtparameter}}{{#if:{{#ifeq:de|de||{{#if:|1}}}}|{{#if:mathetreff-online.de1–2{{#if: 2025-06-23 | {{#if:{{#invoke:TemplUtl|faculty|}}||1}}}}
       |  (
       | {{#if:PDF | |  (}}
       }}{{#ifeq:{{#if:de|de|de}}|de||
          {{#invoke:Multilingual|format|{{{sprache}}}|slang=!|split=[%s,]+|shift=m|separator=, }}}}{{#if: |{{#ifeq:{{#if:de|de|de}}|de||, }}{{{kommentar}}}}})}}{{#if: 1–2{{#if: 2025-06-23 | {{#if:{{#invoke:TemplUtl|faculty|}}||1}} }}|{{#if: |: {{
 #if: 
 | „{{
     #ifeq: {{#if:{{#if: {{#invoke:templutl|faculty|}}|de-ch|de}}|{{#if: {{#invoke:templutl|faculty|}}|de-ch|de}}|de}} | de
     | Vorlage:Str trim
     | {{#invoke:Vorlage:lang|flat}}
     }}“
 | {{#ifeq: {{#if:{{#if: {{#invoke:templutl|faculty|}}|de-ch|de}}|{{#if: {{#invoke:templutl|faculty|}}|de-ch|de}}|de}} | de
     | „Vorlage:Str trim“
     | {{#invoke:Text|quote
         |1={{#if: 
              | {{#invoke:Vorlage:lang|flat}}
              | {{#invoke:Vorlage:lang|flat}} }}
         |2={{#if: {{#invoke:TemplUtl|faculty|}}|de-CH|de}}
         |3=1}} }}

}}{{#if:

   |  (<templatestyles src="Person/styles.css" />{{#if:  | :  }}{{#if:  | , deutsch: „“ }})
   | {{#if: 
       |  ({{#if:  | , deutsch: „“ }})
       | {{#if:  |  (deutsch: „“) }}
 }}

}}{{#if: {{{zitat}}}

   | {{#if: 
       | {{#if: {{{zitat}}}
           | Vorlage:": Text= und 1= gleichzeitig, bzw. Pipe zu viel }} }}
   | Vorlage:": Text= fehlt }}{{#if:  | {{#if: {{#invoke:Text|unstrip|{{{ref}}}}}
             | Vorlage:": Ungültiger Wert: ref=
             | {{{ref}}} }}

}}|.{{#if:{{#invoke:TemplUtl|faculty|}}|{{#if:||{{#ifeq: | JaKeinHinweis |{{#switch:

   |0|=Vorlage:Toter Link/Core{{#if: https://www.mathetreff-online.de/sites/default/files/pdf/matheaufgaben/konstruktionen/grundlagen/konstruktion_eines_rechten_winkels_2.pdf
       | {{#if:  | [1] }} (Seite {{#switch:|no|0|=|dauerhaft }}nicht mehr abrufbar{{#if:  | , festgestellt im {{#invoke:DateTime|format||F Y}} }}. Suche im Internet Archive (T)){{#if: 
           | {{#if: deadurlausgeblendet | | Vorlage:Toter Link/archivebot }}
         }}
       |   (Seite {{#switch:|no|0|=|#default=dauerhaft }}nicht mehr abrufbar{{#if:  | , festgestellt im {{#invoke:DateTime|format||F Y}} }}.)
     }}{{#switch: 
         |no|0|=
         |#default={{#if:  ||  }}
    }}{{#invoke:TemplatePar|check
         |opt      = inline= url= text= datum= date= archivebot= bot= botlauf= fix-attempted= checked=
         |cat      = Wikipedia:Vorlagenfehler/Vorlage:Toter Link
         |errNS    = 0
         |template = Vorlage:Toter Link
         |format   =  @@@
         |preview  = 1
    }}{{#if: https://www.mathetreff-online.de/sites/default/files/pdf/matheaufgaben/konstruktionen/grundlagen/konstruktion_eines_rechten_winkels_2.pdf
      | {{#if:{{#invoke:URLutil|isWebURL|https://www.mathetreff-online.de/sites/default/files/pdf/matheaufgaben/konstruktionen/grundlagen/konstruktion_eines_rechten_winkels_2.pdf}}
          ||  Fehler bei Vorlage:Toter Link: Wert in 'url' ist ungültig.{{#if:  ||  }} 
        }}
      | {{#if: 
           |  Fehler bei Vorlage:Toter Link: 'text' angegeben, aber 'url'' fehlt.{{#if:  ||  }}
           | {{#if:  ||  }}
        }}
    }}{{#if: 
       | {{#if:{{#invoke:DateTime|format||F Y|noerror=1}}
             ||  Fehler bei Vorlage:Toter Link: Wert in 'date' ist ungültig.{{#if:  ||  }} 
         }}
    }}{{#switch: deadurl
         |checked|deadurl|= 
         |#default=   Fehler bei Vorlage:Toter Link: Wert in 'botlauf' ist ungültig.{{#if:  ||  }}
    }}|#default= https://wiki-de.moshellshocker.dns64.de/index.php?title=Wikipedia:Defekte_Weblinks&dwl=https://www.mathetreff-online.de/sites/default/files/pdf/matheaufgaben/konstruktionen/grundlagen/konstruktion_eines_rechten_winkels_2.pdf Die nachstehende Seite ist {{#switch:|no|0|=|dauerhaft }}nicht mehr abrufbar]{{#if:  | , festgestellt im {{#invoke:DateTime|format||F Y}} }}. (Suche im Internet Archive. (T).)  {{#if: 
            | {{#if: deadurlausgeblendet | | Vorlage:Toter Link/archivebot }}
         }}Vorlage:Toter Link/Core{{#switch: 
          |no|0|=
          |#default= {{#if:  ||  }}
        }}{{#invoke:TemplatePar|check
         |all      = inline= url=
         |opt      = datum= date= archivebot= bot= botlauf= fix-attempted= checked=
         |cat      = Wikipedia:Vorlagenfehler/Vorlage:Toter Link
         |errNS    = 0
         |template = Vorlage:Toter Link
         |format   =  @@@
         |preview  = 1
       }}{{#if: https://www.mathetreff-online.de/sites/default/files/pdf/matheaufgaben/konstruktionen/grundlagen/konstruktion_eines_rechten_winkels_2.pdf
       | {{#if:{{#invoke:URLutil|isWebURL|https://www.mathetreff-online.de/sites/default/files/pdf/matheaufgaben/konstruktionen/grundlagen/konstruktion_eines_rechten_winkels_2.pdf}}
          ||  Fehler bei Vorlage:Toter Link: Wert in 'url' ist ungültig.{{#if:  ||  }} 
        }}
    }}{{#if: 
         | {{#if:{{#invoke:DateTime|format||F Y|noerror=1}}
             ||  Fehler bei Vorlage:Toter Link: Wert in 'date' ist ungültig.{{#if:  ||  }} 
           }}
    }}{{#switch: deadurl
         |checked|deadurl|= 
         |#default=   Fehler bei Vorlage:Toter Link: Wert in 'botlauf' ist ungültig.{{#if:  ||  }}
    }}[https://www.mathetreff-online.de/sites/default/files/pdf/matheaufgaben/konstruktionen/grundlagen/konstruktion_eines_rechten_winkels_2.pdf }}|{{#switch: 
   |0|=Vorlage:Toter Link/Core{{#if: https://www.mathetreff-online.de/sites/default/files/pdf/matheaufgaben/konstruktionen/grundlagen/konstruktion_eines_rechten_winkels_2.pdf
       | {{#if:  | [2] }} (Seite {{#switch:|no|0|=|dauerhaft }}nicht mehr abrufbar{{#if:  | , festgestellt im {{#invoke:DateTime|format||F Y}} }}. Suche im Internet Archive (T)){{#if: 
           | {{#if:  | | Vorlage:Toter Link/archivebot }}
         }}
       |   (Seite {{#switch:|no|0|=|#default=dauerhaft }}nicht mehr abrufbar{{#if:  | , festgestellt im {{#invoke:DateTime|format||F Y}} }}.)
     }}{{#switch: 
         |no|0|=
         |#default={{#if:  ||  }}
    }}{{#invoke:TemplatePar|check
         |opt      = inline= url= text= datum= date= archivebot= bot= botlauf= fix-attempted= checked=
         |cat      = Wikipedia:Vorlagenfehler/Vorlage:Toter Link
         |errNS    = 0
         |template = Vorlage:Toter Link
         |format   =  @@@
         |preview  = 1
    }}{{#if: https://www.mathetreff-online.de/sites/default/files/pdf/matheaufgaben/konstruktionen/grundlagen/konstruktion_eines_rechten_winkels_2.pdf
      | {{#if:{{#invoke:URLutil|isWebURL|https://www.mathetreff-online.de/sites/default/files/pdf/matheaufgaben/konstruktionen/grundlagen/konstruktion_eines_rechten_winkels_2.pdf}}
          ||  Fehler bei Vorlage:Toter Link: Wert in 'url' ist ungültig.{{#if:  ||  }} 
        }}
      | {{#if: 
           |  Fehler bei Vorlage:Toter Link: 'text' angegeben, aber 'url'' fehlt.{{#if:  ||  }}
           | {{#if:  ||  }}
        }}
    }}{{#if: 
       | {{#if:{{#invoke:DateTime|format||F Y|noerror=1}}
             ||  Fehler bei Vorlage:Toter Link: Wert in 'date' ist ungültig.{{#if:  ||  }} 
         }}
    }}{{#switch: 
         |checked|deadurl|= 
         |#default=   Fehler bei Vorlage:Toter Link: Wert in 'botlauf' ist ungültig.{{#if:  ||  }}
    }}|#default= https://wiki-de.moshellshocker.dns64.de/index.php?title=Wikipedia:Defekte_Weblinks&dwl=https://www.mathetreff-online.de/sites/default/files/pdf/matheaufgaben/konstruktionen/grundlagen/konstruktion_eines_rechten_winkels_2.pdf Die nachstehende Seite ist {{#switch:|no|0|=|dauerhaft }}nicht mehr abrufbar]{{#if:  | , festgestellt im {{#invoke:DateTime|format||F Y}} }}. (Suche im Internet Archive. (T).)  {{#if: 
            | {{#if:  | | Vorlage:Toter Link/archivebot }}
         }}Vorlage:Toter Link/Core{{#switch: 
          |no|0|=
          |#default= {{#if:  ||  }}
        }}{{#invoke:TemplatePar|check
         |all      = inline= url=
         |opt      = datum= date= archivebot= bot= botlauf= fix-attempted= checked=
         |cat      = Wikipedia:Vorlagenfehler/Vorlage:Toter Link
         |errNS    = 0
         |template = Vorlage:Toter Link
         |format   =  @@@
         |preview  = 1
       }}{{#if: https://www.mathetreff-online.de/sites/default/files/pdf/matheaufgaben/konstruktionen/grundlagen/konstruktion_eines_rechten_winkels_2.pdf
       | {{#if:{{#invoke:URLutil|isWebURL|https://www.mathetreff-online.de/sites/default/files/pdf/matheaufgaben/konstruktionen/grundlagen/konstruktion_eines_rechten_winkels_2.pdf}}
          ||  Fehler bei Vorlage:Toter Link: Wert in 'url' ist ungültig.{{#if:  ||  }} 
        }}
    }}{{#if: 
         | {{#if:{{#invoke:DateTime|format||F Y|noerror=1}}
             ||  Fehler bei Vorlage:Toter Link: Wert in 'date' ist ungültig.{{#if:  ||  }} 
           }}
    }}{{#switch: 
         |checked|deadurl|= 
         |#default=   Fehler bei Vorlage:Toter Link: Wert in 'botlauf' ist ungültig.{{#if:  ||  }}
    }}[https://www.mathetreff-online.de/sites/default/files/pdf/matheaufgaben/konstruktionen/grundlagen/konstruktion_eines_rechten_winkels_2.pdf }} }}}}}}}}}}{{#if:|
        {{#invoke:Vorlage:Internetquelle|archivBot|stamp={{{archiv-bot}}}|text={{#if:|Vorlage:Webarchiv/archiv-bot}}

}}}} {{#invoke:TemplatePar|check |all= url= titel= |opt= autor= hrsg= format= sprache= titelerg= werk= seiten= datum= abruf= zugriff= abruf-verborgen= archiv-url= archiv-datum= archiv-bot= kommentar= zitat= AT= CH= offline= |cat= {{#ifeq: 0 | 0 | Wikipedia:Vorlagenfehler/Vorlage:Internetquelle}} |template= Vorlage:Internetquelle |format=0 |preview=1 }}</ref>

Fällen des Lots

{{#if: |

{{{Kopfzeile}}}

}}{{#ifeq: | vertical

|

[[Datei:{{#if: 01-Lot fällen.svg

                       | 01-Lot fällen.svg
                       | Vorlage:Platzhalterbild/file

}}|{{#if: | {{{Breite}}} | 150 }}px{{#if: | |alt= }}{{#if: | |class= }}{{#if: Fällen des Lots | |Fällen des Lots }}]]

{{#if: Vorlage:Mehrere Bilder/Align |

{{#if: {{#invoke:Expr|TemplateBooland}} | Fällen des Lots }}

}}

[[Datei:{{#if: 01-Lot fällen-2.svg

                       | 01-Lot fällen-2.svg
                       | Vorlage:Platzhalterbild/file

}}|{{#if: | {{{Breite}}} | 150 }}px{{#if: | |alt= }}{{#if: | |class= }}{{#if: {{#if: Alternative Methode zum Fällen des Lots | Alternative Methode zum Fällen des Lots | Fällen des Lots }} | |{{#if: Alternative Methode zum Fällen des Lots | Alternative Methode zum Fällen des Lots | Fällen des Lots }} }}]]

{{#if: Vorlage:Mehrere Bilder/Align |

{{#if: {{#invoke:Expr|TemplateBooland}} | Alternative Methode zum Fällen des Lots }}

}}

{{#if: |

[[Datei:{{{Bild3}}}|{{#if: | {{{Breite}}} | 150 }}px{{#if: | |alt={{{Alt3}}} }}{{#if: | |class={{{Class3}}} }}{{#if: | |{{{Beschreibung3}}} }}]]

{{#if: Vorlage:Mehrere Bilder/Align |

{{{Untertitel3}}}

}}

      }}{{#if:

|

[[Datei:{{{Bild4}}}|{{#if: | {{{Breite}}} | 150 }}px{{#if: | |alt={{{Alt4}}} }}{{#if: | |class={{{Class4}}} }}{{#if: | |{{{Beschreibung4}}} }}]]

{{#if: Vorlage:Mehrere Bilder/Align |

{{{Untertitel4}}}

}}

      }}{{#if:

|

[[Datei:{{{Bild5}}}|{{#if: | {{{Breite}}} | 150 }}px{{#if: | |alt={{{Alt5}}} }}{{#if: | |class={{{Class5}}} }}{{#if: | |{{{Beschreibung5}}} }}]]

{{#if: Vorlage:Mehrere Bilder/Align |

{{{Untertitel5}}}

}}

}}

|

[[Datei:{{#if: 01-Lot fällen.svg

                     | 01-Lot fällen.svg
                     | Vorlage:Platzhalterbild/file

}}|{{#if: | {{{Breite}}} | {{#if: {{#if: 230 | 230 | 120 }} | {{#if: 230 | 230 | 120 }} | 150 }} }}px{{#if: | |alt= }}{{#if: | |class= }}{{#if: Fällen des Lots | |Fällen des Lots }}]]

{{#if:

                 |
                 | {{#if: Vorlage:Mehrere Bilder/Align

|

{{#if: {{#invoke:Expr|TemplateBooland}} | Fällen des Lots }}

}}

}}

[[Datei:{{#if: 01-Lot fällen-2.svg

                      | 01-Lot fällen-2.svg
                      | Vorlage:Platzhalterbild/file

}}|{{#if: | {{{Breite}}} | {{#if: {{#if: 232 | 232 | 120 }} | {{#if: 232 | 232 | 120 }} | 150 }} }}px{{#if: | |alt= }}{{#if: | |class= }}{{#if: {{#if: Alternative Methode zum Fällen des Lots | Alternative Methode zum Fällen des Lots | Fällen des Lots }} | |{{#if: Alternative Methode zum Fällen des Lots | Alternative Methode zum Fällen des Lots | Fällen des Lots }} }}]]

{{#if:

                 |
                 | {{#if: Vorlage:Mehrere Bilder/Align

|

{{#if: {{#invoke:Expr|TemplateBooland}} | Alternative Methode zum Fällen des Lots }}

}}

}}

{{#if: |

[[Datei:{{{Bild3}}}|{{#if: | {{{Breite}}} | {{#if: | {{{Breite3}}} | 150 }} }}px{{#if: | |alt={{{Alt3}}} }}{{#if: | |class={{{Class3}}} }}{{#if: | |{{{Beschreibung3}}} }}]]

{{#if:

                     |
                     | {{#if: Vorlage:Mehrere Bilder/Align

|

{{{Untertitel3}}}

}}

}}

      }}{{#if:

|

[[Datei:{{{Bild4}}}|{{#if: | {{{Breite}}} | {{#if: | {{{Breite4}}} | 150 }} }}px{{#if: | |alt={{{Alt4}}} }}{{#if: | |class={{{Class4}}} }}{{#if: | |{{{Beschreibung4}}} }}]]

{{#if:

                     |
                     | {{#if: Vorlage:Mehrere Bilder/Align

|

{{{Untertitel4}}}

}}

}}

      }}{{#if:

|

[[Datei:{{{Bild5}}}|{{#if: | {{{Breite}}} | {{#if: | {{{Breite5}}} | 150 }} }}px{{#if: | |alt={{{Alt5}}} }}{{#if: | |class={{{Class5}}} }}{{#if: | |{{{Beschreibung5}}} }}]]

{{#if:

                     |
                     | {{#if: Vorlage:Mehrere Bilder/Align

|

{{{Untertitel5}}}

}}

}}

}}

{{#ifeq: | vertical

 |
 | {{#if:

|

Vorlage:Mehrere Bilder/Align

{{#if: |

Vorlage:Mehrere Bilder/Align

       }}{{#if:

|

Vorlage:Mehrere Bilder/Align

       }}{{#if:

|

Vorlage:Mehrere Bilder/Align

       }}
   }}

}}

{{#if: {{#if: {{#invoke:Expr|TemplateBooland}} | | {{#if: Fällen des Lots | Fällen des Lots }} }}

|

{{#if: {{#invoke:Expr|TemplateBooland}} | | {{#if: Fällen des Lots | Fällen des Lots }} }}

}}

{{#if: {{#invoke:Expr|TemplateBooland}}

    |
    | {{#ifeq: 0 | 0
        | 
      }}
  }}

Ist ein Punkt <math>P</math> außerhalb der Geraden <math>g</math> gegeben, dann findet man das Lot durch <math>P</math> auf <math>g</math> wie folgt: Man sticht den Zirkel in den Punkt <math>P</math> ein und bestimmt durch Ziehen eines Kreisbogens mit hinreichend großem Radius zwei Punkte auf <math>g</math> mit gleichem Abstand von <math>P</math>. Dann sticht man jeweils in einen der beiden gefundenen Punkte auf <math>g</math> ein und findet durch Ziehen zweier Kreisbögen (mit hinreichend großem Radius) einen weiteren Punkt mit gleichem Abstand von den beiden Punkten. Die Gerade, die durch diesen Punkt und den gegebenen Punkt <math>P</math> verläuft, ist dann die Lotgerade zu <math>g</math> durch <math>P</math>, und der Schnittpunkt dieser Lotgeraden mit <math>g</math> ist der Fußpunkt <math>F</math>.<ref>{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref>

Eine alternative Konstruktion, von einem gegebenen Punkt das Lot auf eine Gerade zu fällen, besteht darin, den Zirkel an zwei beliebigen Punkten <math>M_1</math> und <math>M_2</math> auf der Geraden einzustechen und jeweils den Kreis, der durch den gegebenen Punkt <math>P</math> verläuft, einzuzeichnen. Diese beiden Kreise schneiden sich dann in einem weiteren Punkt <math>P'</math> außerhalb der Geraden. Und die Linie, die durch <math>P</math> und <math>P'</math> verläuft, ist dann die Lotgerade durch <math>P</math>. Diese Konstruktion kann auch für Spiegelungen benutzt werden.

Datei:Lot-g-fp-2d.svg

Lotgerade (rot) zu einer Gerade <math>g</math> und einem Punkt <math>P</math>

Berechnung

In der Ebene

Lotgerade, Fußpunkt

Für einen Punkt <math>P</math> mit Ortsvektor <math>\vec p</math> und eine Gerade <math>g\colon \vec x = \vec a + s\vec r</math> in der Ebene hat die Lotgerade <math>h</math> durch <math>P</math> die Normalenform

(LG2) <math>\ h\colon (\vec x - \vec p) \cdot \vec r = 0,</math>

denn der Richtungsvektor <math>\vec r</math> der Geraden <math>g</math> ist ein Normalenvektor der Lotgeraden <math>h</math>. Hierbei bezeichnet <math>\cdot</math> das Skalarprodukt zweier Vektoren. Soll der Ortsvektor <math>\vec f</math> des Fußpunkts <math>F</math> (Schnittpunkt von <math>g</math> und <math>h</math>) bestimmt werden, setzt man die Parameterdarstellung von <math>g</math> in die Gleichung der Lotgeraden ein, löst nach <math>s</math> auf und setzt das Ergebnis in die Parameterdarstellung von <math>g</math> ein. Es ergibt sich:

(LF2) <math>\ F\colon \vec f = \vec a + \frac{(\vec p - \vec a) \cdot \vec r}{\vec r \cdot \vec r}\; \vec r</math>

Andere Vorgaben:
a) Falls die Gerade <math>g</math> durch zwei Punkte <math>A</math> und <math>B</math> mit den Ortsvektoren <math>\vec a</math> bzw. <math>\vec b</math> gegeben ist, kann man <math>\vec r = \vec b - \vec a</math> setzen.
b) Falls die Gerade <math>g</math> durch die Gleichung <math>y = mx + d</math> gegeben ist, hat die Lotgerade durch den Punkt <math>P = (x_0,y_0)</math> die Gleichung <math>y = -\tfrac{1}{m}(x-x_0) + y_0</math>. Alternativ kann man <math>A = (0,d)</math> und <math>\vec r = \textstyle{1 \choose m}</math> setzen und die obige Formel verwenden.
c) Falls die Gerade <math>g</math> durch die Gleichung <math>ax + by = d</math> oder in Normalenform <math>\vec x \cdot \vec n = d</math> mit <math>\vec n = \textstyle{a\choose b}</math> beschrieben wird, kann man <math>\vec r = \textstyle{-b\choose a}</math> setzen und für <math>A</math> einen der Achsenschnittpunkte wählen.

Datei:Lot-f-e-pg-3d.svg

Lotebene (rot) zu einer Geraden <math>g</math> und einem Punkt <math>P</math>

Datei:Lot-f-g-pe-3d.svg

Lotgerade (rot) zu einer Ebene <math>\varepsilon</math> und einen Punkt <math>P</math>

Im Raum

Punkt und Gerade

Setzt man in der obigen Formel (LG2) Vektoren aus dem <math>\R^3</math> ein, so beschreibt sie diejenige Ebene durch den Punkt <math>P</math> mit Ortsvektor <math>\vec p</math>, die auf der Geraden <math>g\colon \vec x = \vec a + s\vec r</math> senkrecht steht, also die Lotebene:

(PGLE3) <math>\ \lambda\colon\ (\vec x - \vec p) \cdot \vec r = 0</math>

Der Schnittpunkt der Lotebene mit der Geraden <math>g</math> ergibt sich aus der 3-dimensionalen Form der obigen Formel (LF2):

(PGLF3) <math>\ F\colon \vec f = \vec a + \frac{(\vec a - \vec p) \cdot \vec r}{\vec r \cdot \vec r}\; \vec r,</math>

<math>F</math> ist der Fußpunkt.
Die Gerade <math>\overline{PF}</math> schneidet die Gerade <math>g</math> in <math>F</math> senkrecht. Also ist

(PGLG3) <math>\ h\colon \vec x = \vec p + t(\vec f - \vec p)</math>

die Lotgerade von <math>P</math> auf <math>g</math>.

Punkt und Ebene

Für den Punkt <math>P</math> mit Ortsvektor <math>\vec p</math> und die Ebene <math>\varepsilon\colon \vec x \cdot \vec n = d</math> ist

(PELG3) <math>\ h\colon \vec x = \vec p + s\vec n</math>

die Lotgerade. Für den Fußpunkt setzt man die Gleichung der Lotgerade in die Ebenengleichung ein, löst nach <math>s</math> auf und setzt das Ergebnis wieder in die Lotgleichung ein:

(PELF3) <math>\ F\colon \vec f = \vec p + \frac{d - \vec p \cdot \vec n}{\vec n \cdot \vec n} \vec n</math>

Alternative Vorgabe: Falls die Ebene in der Form <math>\vec x = \vec a + s\vec u + t\vec v </math> gegeben ist, kann man <math>\vec n = \vec u \times \vec v</math> setzen.

Siehe auch

Lot auf eine Ebene, Abstand Punkt-Ebene in der Darstellenden Geometrie
Ophiuride, als Fußpunktkurve einer Parabel

Literatur

Michael Jung: Ebene Trigonometrie & Analytische Geometrie. Springer Spektrum, Wiesbaden 2024, ISBN 978-3-658-03261-6, S. 571–579.

Weblinks

[{{canonicalurl:Commons:Category:{{#if:Perpendicular|Perpendicular|Lot (Mathematik)}}|uselang=de}} Commons: {{#if:|{{{2}}}|{{#if:Perpendicular|Perpendicular|{{#invoke:WLink|getArticleBase}}}}}}]{{#switch:1

|X|x= |0|-= |S|s= – Sammlung von Bildern |1|= – Sammlung von Bildern{{#if:

    | {{#switch: {{#invoke:TemplUtl|faculty|1}}/{{#invoke:TemplUtl|faculty|1}}
        |1/=  und Videos
        |1/1=, Videos und Audiodateien
        |/1=  und Audiodateien}}
    | , Videos und Audiodateien
  }}

|#default= – }}{{#if: Perpendicular

   | {{#ifeq: {{#invoke:Str|left|perpendicular|9}} 
       | category:

| FEHLER: Ohne Category: angeben!}}}}

Vorlage:Wikidata-Registrierung

{{#if: | {{{author}}} | Eric W. Weisstein }}: Perpendicular. In: MathWorld (englisch). {{#if: | {{#ifeq: {{#property:P2812}} | {{{id}}} | | {{#if: {{#property:P2812}} | {{#ifeq: 0 | 0 | }} | {{#ifeq: 0 | 0 | }} }} }} }}
{{#if: Warren Buck|Warren Buck: }}Compass and straightedge construction of perpendicular. In: PlanetMath. (englisch)

Einzelnachweise