Methode der globalen Linearisierung

Die Idee beim Regelungsentwurf durch globale Linearisierung besteht darin, eine geeignete Rückführung zu finden, die ein nichtlineares System linearisiert und damit eine Regelung vereinfacht. Zumeist wird dazu der Ausgang zurückgeführt, weshalb die Methode auch als Linearisierung durch Ausgangsrückführung bekannt ist.

Die globale Linearisierung wird vor allem in der Regelungstechnik eingesetzt, weshalb wir nun ein solches Beispiel betrachten.

Globale Linearisierung in der Regelungstechnik

Eine Regelstrecke ist in der Regeltechnik die zu regelnde physikalische Größe, z. B. die Temperatur.

Eine nichtlineare Regelstrecke lässt sich in der Zustandsraumdarstellung wie folgt ausdrücken:

<math display="block">\begin{align} \dot x_1 = x_2 && \dot x_2 = x_3 && ...&& \dot x_n = f(x_1, \cdots, x_n) + b(x_1, \cdots, x_n)u, \end{align}</math>

was aus der allgemeinen Zustandsraumdarstellung für Eingrößensysteme folgt:

<math display="block">\begin{bmatrix} \dot{x}_1(t)\\ \dot{x}_2(t)\\ \vdots\\ \dot{x}_n(t)\\ \end{bmatrix}

=\underbrace{\begin{bmatrix} a_{11}& \dots & a_{1n}\\ a_{21}& \dots & a_{2n}\\ \vdots& \ddots &\vdots\\ a_{n1}& \dots & a_{nn}\\ \end{bmatrix}}_{\text{System-Matrix}} \ \cdot \underbrace{\begin{bmatrix} x_1(t)\\ x_2(t)\\ \vdots\\ x_n(t)\\ \end{bmatrix}}_{\text{Zustd.-Vektor}} + \underbrace{\begin{bmatrix} b_{1} \\ b_{2} \\ \vdots \\ b_{n} \\ \end{bmatrix}}_{\text{Eingangs-Vektor}} \cdot \underbrace{\begin{bmatrix} u(t)\\ \end{bmatrix}}_{\text{Eing.-Variable}}.</math>

Diese nichtlineare Regelungsstrecke lässt sich linearisieren durch die Rückführung

<math display="block">u = \frac{1}{b(x_1, \cdots, x_n)}(v-f(x_1, \cdots, x_n))</math>.

Wird die Zustandsrückführung<ref>Lutz, Wendt: Taschenbuch der Regelungstechnik, Kapitel: Regelung durch Zustandsrückführung.</ref>

<math display="block">v = -k_1 x_1 - k_2 x_2 - \cdots - k_n x_n</math>

als Regler gewählt, so lautet die linearisierte Regelstrecke:

<math display="block">\begin{align} \dot x_1 = x_2 &&\dot x_2 = x_3 && ... && \dot x_n = -k_1 x_1 - k_2 x_2 - \cdots -k_n x_n. \end{align}</math>

Die Regelstrecke ist asymptotisch stabil, wenn alle Eigenwerte der Systemmatrix einen negativen Realteil haben.

Beispiel: Van-der-Pol-System

Ein Van-der-Pol-System (benannt nach dem niederländischen Physiker Balthasar van der Pol, der diese 1927 veröffentlichte<ref>Van der Pol, B. and Van der Mark, J., “Frequency demultiplication”, Nature, 120, 363–364, (1927).</ref>) wird durch folgende Differentialgleichung beschrieben<ref>Kaplan, D. and Glass, L., Understanding Nonlinear Dynamics, Springer, 240–244, (1995).</ref>:<math display="block">\ddot{x} + \epsilon (x^2-1)\dot{x} + x = u.</math>Nach Umschreiben in die kanonische Steuerbarkeitsnormalform mit <math>x_1=x\;</math>, <math>\dot x_1 =\dot{x}=x_2</math> und <math>\dot x_2 =\ddot{x}</math> erhält man<math display="block">\begin{align} \dot x_1 &=x_2\\ \dot x_2 &=\epsilon (1-x_1^2)x_2-x_1+u = f(x_1,x_2)+b(x_1,x_2) u. \end{align}</math>Damit ist <math display="block">\begin{align} f(x_1,x_2)&=\epsilon (1-x_1^2) x_2-x_1\\ b(x_1,x_2)&=1 \end{align}</math> und somit die Rückführung<math display="block">u = -\epsilon (1-x_1^2) x_2 +x_1+v.</math>Die linearisierte Zustandsraumdarstellung lautet somit<math display="block">\begin{align} \dot x_1&=x_2\\ \dot x_2&=-k_1 x_1-k_2 x_2. \end{align}</math>Die zugehörige homogene, lineare Differentialgleichung lautet:<math display="block">\ddot x+k_2\dot x+k_1 x=0.</math>

Einzelnachweise