Metrischer Zusammenhang
Ein metrischer Zusammenhang beziehungsweise ein mit der Metrik kompatibler Zusammenhang ist ein mathematisches Objekt aus der Differentialgeometrie. Es handelt sich um einen Spezialfall eines Zusammenhangs.
Definition
Sei <math>(M,\tilde{g})</math> eine riemannsche Mannigfaltigkeit und sei <math>(E \to M,g)</math> ein Vektorbündel mit (induzierter) Metrik <math>g</math>. Ein Zusammenhang <math>\nabla</math> auf <math>E</math> heißt metrischer Zusammenhang, wenn für alle Schnitte <math>X, Y, Z \in \Gamma(E)</math>
- <math>(\nabla_X g)(Y,Z) = 0</math>
gilt.
Die Metrik ist also kovariant konstant bezüglich des metrischen Zusammenhangs. Aus dieser Eigenschaft folgt für alle <math>X, Y, Z \in \Gamma(E)</math>
- <math>X(g(Y,Z)) =g(\nabla_X Y,Z)+g(Y,\nabla_X Z).</math>
Beispiele
Das bekannteste Beispiel eines metrischen Zusammenhangs ist der Levi-Civita-Zusammenhang. In diesem Fall ist das Vektorbündel das Tangentialbündel <math>TM</math> an <math>M</math> mit der riemannschen Metrik von <math>M</math>. Da zu jeder riemannschen Mannigfaltigkeit genau ein Levi-Civita-Zusammenhang existiert, gibt es insbesondere mindestens einen metrischen Zusammenhang auf einer riemannschen Mannigfaltigkeit.
Affiner Raum
Sei <math>(E \to M,g)</math> ein Vektorbündel mit Metrik <math>g,</math> dann ist die Menge <math>X</math> der metrischen Zusammenhänge auf <math>E</math> ein nichtleerer affiner Raum modelliert mit den (vektorwertigen) 1-Formen aus <math>\mathcal{A}^1(M,\operatorname{End}(E)),</math> d. h., es gibt eine Abbildung
- <math>l : \mathcal{A}^1(M,\operatorname{End}(E)) \times X \to X,</math>
so dass mit der Notation <math>\omega+\nabla:=l(\omega,\nabla)</math>
- für jedes <math>\nabla \in X</math> die Gleichung <math>0 + \nabla = \nabla</math> gilt,
- für jedes <math>\omega, \nu \in \mathcal{A}^1(M,\operatorname{End}(E))</math> und für alle <math>\nabla \in E</math> das Assoziativgesetz <math>(\omega + \nu) + \nabla = \omega + (\nu + \nabla)</math> gilt und
- für alle <math>\nabla \in X</math> die Abbildung <math>\omega \mapsto \omega + \nabla</math> bijektiv ist.
Literatur
- John M. Lee: Riemannian Manifolds. An Introduction to Curvature (= Graduate Texts in Mathematics 176). Springer, New York NY u. a. 1997, ISBN 0-387-98322-8.
- Manfredo Perdigão do Carmo: Riemannian Geometry. Birkhäuser, Boston u. a. 1992, ISBN 0-8176-3490-8.
- Nicole Berlin, Ezra Getzler, Michèle Vergne: Heat Kernels and Dirac Operators (= Grundlehren der mathematischen Wissenschaften 298). Corrected 2nd printing. Springer, Berlin u. a. 1996, ISBN 3-540-53340-0.
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