Mittag-Leffler-Funktion

Die Mittag-Leffler-Funktion ist eine nach dem Mathematiker Magnus Gösta Mittag-Leffler benannte mathematische Funktion, die in den Lösungen von bestimmten fraktionalen Integralgleichungen auftaucht (z. B. bei der Untersuchung von Zufallsbewegungen oder Lévy-Flügen). Sie ist gegeben durch

<math>\Epsilon_\alpha(x)=\sum_{k=0}^\infty\frac{x^k}{\Gamma(\alpha k+1)}</math>,

wobei <math>\Gamma(x)</math> die Gammafunktion ist. Die Reihe konvergiert für alle <math>\alpha</math> mit positivem Realteil. Im Spezialfall <math>\alpha=1</math> ergibt sich die Exponentialfunktion.

Die verallgemeinerte Mittag-Leffler-Funktion beschreibt eine Interpolation zwischen exponentiellem und polynomialen Verhalten und ist gegeben durch

<math>\Epsilon_{\alpha,\beta}(x)=\sum_{k=0}^\infty\frac{x^k}{\Gamma(\alpha k+\beta)}</math>.

Spezialfälle dieser Funktion sind

• Gaußsche Fehlerfunktion:

<math>E_{1/2,1}(z)=\exp(z^2) \operatorname{erfc}(-z)</math>

• Hyperbelsinus:

<math>E_{2,1}(z)=\cosh(\sqrt z)</math>

Literatur

• M.G. Mittag-Leffler: Sur la nouvelle fonction E_alpha(x). In: Comptes Rendus de l'Académie des sciences 137/1903, S. 554–558.
• R.K. Saxena, A.M. Mathai, H.J. Haubold: On Fractional Kinetic Equations. In: Astrophysics & Space Science 282/2002, S. 281–287 (ISSN 0004-640X), (PDF-Version).

Weblinks

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Commons: Mittag-Leffler-Funktion – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

• Eric W. Weisstein: Mittag-Leffler Function. In: MathWorld (englisch).