Modifizierte Z-Transformation
Die Modifizierte Z-Transformation stellt eine Erweiterung der zeitdiskreten Z-Transformation dar, um auch Signalwerte zwischen ganzzahligen Abtastzeitpunkten im Rahmen der zeitdiskreten Regelungstechnik verarbeiten zu können. Die dafür nötigen Modifikationen der Z-Transformation wurden in Arbeiten von Eliahu Ibrahim Jury im Jahr 1958 vorgestellt.<ref name="jury1" /> Primäre Anwendung liegt bei der Erkennung von Instabilitäten zufolge der zeitdiskreten Signalverarbeitung von Regelstrecken, beispielsweise im Bereich der Leistungselektronik für hochdynamische elektrische Antriebssysteme.
Definition
Die modifizierte Z-Transformation weist für kausale Signale mit positiven und ganzzahligen k folgende Definition auf:
- <math>G(z, m) = \sum_{k=0}^{\infty} f((k + m)T)z^{-k} \ </math>
mit <math>T</math> der Periodendauer und einem „Verzögerungsfaktor“ <math>m</math>, der einen Teil der Periodendauer darstellt und im Bereich <math>[0, 1)</math> liegt.
Anschaulich stellt die modifizierte Z-Transformation eine unilaterale Z-Transformation dar, die vor dem Abtastglied zur Gewinnung der diskreten Signalfolge ein zusätzliches Laufzeitglied mit der Verzögerung
- <math>\mathrm e^{-(1-m)Ts}</math>
aufweist. Bei zeitlich konstanten <math>m</math> gelten die Eigenschaften der Z-Transformation.
Korrespondenzen
Einige der wichtigen Korrespondenzen der modifizierten Z-Transformation lauten:
| Zeitbereich f(t) |
Spektralbereich G(z,m) |
|---|---|
| σ(t) | <math>\frac{z}{z-1}</math> |
| <math>t</math> | <math>\frac{mT}{z-1} + \frac{T}{(z-1)^2}</math> |
| <math>\mathrm e^{-at}</math> | <math>\frac{ \mathrm e^{-amT} }{ z-\mathrm e^{-aT} }</math> |
| <math>1 - \mathrm e^{-at}</math> | <math>\frac{1}{z-1} + \frac{ \mathrm e^{-amT} }{ z-\mathrm e^{-aT} }</math> |
| <math>\sin(\omega t)</math> | <math>\frac{z \sin {(m \omega T)} + \sin {((1-m) \omega T)}}{z^2 - 2z \cos {\omega T} + 1 }</math> |
Für <math>m = 0</math> gehen die Korrespondenzen in die Formen der Z-Transformation über. Die modifizierte Z-Transformation wird daher auch als erweiterte Z-Transformation bezeichnet.
Einzelnachweise
<references> <ref name="jury1">{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref> </references>
Literatur
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