Momentenproblem
Das Momentenproblem ist ein klassisches Problem der Analysis. Statt aus einer Verteilung die Momente zu berechnen, wird das inverse Problem gelöst: aus einer gegebenen Folge von Momenten sollen Rückschlüsse auf eine mögliche, zugrundeliegende Verteilung gezogen werden, insbesondere in der Stochastik, siehe Moment (Stochastik)<ref>{{#if:|{{#iferror: {{#iferror:{{#invoke:Vorlage:FormatDate|Execute}}|}}| |}}}}{{#if:|{{{autor}}}: }}{{#if:|{{#if:Momentenproblem|[{{#invoke:Vorlage:Internetquelle|archivURL|1={{#invoke:URLutil|getNormalized|1={{{archiv-url}}}}}}} {{#invoke:Vorlage:Internetquelle|TitelFormat|titel=Momentenproblem}}]{{#if:| ({{{format}}})}}{{#if:| {{{titelerg}}}{{#invoke:Vorlage:Internetquelle|Endpunkt|titel={{{titelerg}}}}}}}}}|{{#if:https://www.spektrum.de/lexikon/mathematik/momentenproblem/6506%7C{{#if:{{#invoke:TemplUtl%7Cfaculty%7C}}%7C{{#invoke:Vorlage:Internetquelle%7CTitelFormat%7Ctitel={{#invoke:WLink%7CgetEscapedTitle%7C1=Momentenproblem}}}}%7C[{{#invoke:URLutil|getNormalized|1=https://www.spektrum.de/lexikon/mathematik/momentenproblem/6506}} {{#invoke:Vorlage:Internetquelle|TitelFormat|titel={{#invoke:WLink|getEscapedTitle|1=Momentenproblem}}}}]}}{{#if:| ({{{format}}}{{#if:{{#if: 2020-12-15 | {{#if:{{#invoke:TemplUtl|faculty|}}||1}}}}
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Dabei können zwei Fragestellungen unterschieden werden. Existiert zu einer gegebenen Folge reeller Zahlen <math>(c_k)_{k \in \N_0}</math> eine Verteilungsfunktion <math>F</math>, so dass diese Zahlen die Folge der <math>k</math>-ten Momente für die Verteilungsfunktion bilden, dass also für ein Intervall <math>I \subseteq \R</math>
- <math> c_k = \int_{I}x^k \mathrm{d}F(x), \quad k \in \N_0 </math>
gilt? Ist diese Verteilungsfunktion durch die Angabe der Momente eindeutig bestimmt?<ref name="Lex-272">{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref>
Varianten des Momentenproblems
Die Bezeichnung Momentenproblem wurde von Thomas Jean Stieltjes eingeführt, der das Problem 1894 erstmals ausführlich untersuchte und dabei die Bezeichnungen und Konzepte aus der Mechanik übernahm.<ref name="stieltjes" /><ref name="gene" /><ref name="shohat" /> Je nach Träger der Verteilung (das ist das Komplement der größten offenen Menge vom Maß null), werden unterschiedliche Varianten des Momentenproblems unterschieden.
Hamburgersches Momentenproblem
Beim Hamburgerschen Momentenproblem werden Wahrscheinlichkeitsverteilungen auf <math>I = \R = (-\infty,\infty)</math> betrachtet. Eine Verteilungsfunktion <math>F</math> mit der Eigenschaft
- <math> c_k = \int_{\R}x^k \mathrm{d}F(x), \quad k \in \N_0 </math>
existiert genau dann, wenn <math>c_0 = 1</math> und für beliebige <math>n \in \N</math>, <math>x_0,x_1,\dots,x_n\in \R</math> die Beziehung
- <math> \sum_{j,k=0}^{n} c_{j+k}x_jx_k \geq 0 </math>
gilt.<ref name="Lex-272"/> Dabei ist im Allgemeinen die Verteilungsfunktion <math>F</math> nicht eindeutig bestimmt.<ref name="Lex-272"/> Eine hinreichende Bedingung für die Eindeutigkeit von <math>F</math> ist die Bedingung von Carleman
- <math> \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{\sqrt[2n]{c_{2n}}} = \infty\;.</math><ref name="Lex-272"/>
Die Verteilungsfunktion einer Normalverteilung ist eindeutig durch die Folge der Momente bestimmt.<ref> {{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref> Die Verteilungsfunktion einer Lognormalverteilung ist nicht eindeutig durch die Folge der Momente bestimmt, da es andere Wahrscheinlichkeitsverteilungen mit denselben Momenten gibt.<ref>{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref><ref>{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref>
Beim Stieltjesschen Momentenproblem ist <math>I = [0,\infty)</math>.<ref name="Lex-272"/> Beim Hausdorffschen Momentenproblem ist <math>I</math> ein beschränktes Intervall; o. B. d. A. <math>I= [0,1]</math>.<ref name="Lex-272"/>
Trigonometrisches Momentenproblem
Eine weitere Variante ist das trigonometrische Momentenproblem, bei dem die Verteilung auf einem Einheitskreis in Abhängigkeit vom Winkel, also ein trigonometrisches Moment gesucht wird.<ref name="landau" /> Gegeben sei eine Folge <math>(d_k)_{k \in \N_0}</math> komplexer Zahlen. Unter welchen Voraussetzungen existiert eine Verteilungsfunktion auf dem Intervall <math>[0,2\pi)</math> mit der Eigenschaft
- <math> d_k = \int_0^{2\pi} \mathrm{e}^{\mathrm{i}kx}\mathrm{d}F(x), \quad k \in \N_0 </math>
und ist diese Verteilungsfunktion eindeutig?
Die Antwort gibt ein Satz von Gustav Herglotz, der besagt, dass eine Verteilungsfunktion mit diesen Eigenschaften genau dann existiert, wenn <math>d_0 = 1</math> und für beliebige <math>n \in \N</math>, <math>\xi_0,\xi_1,\dots,\xi_n\in \C</math> die Beziehung
- <math> \sum_{j,k=0}^{n} d_{j+k}\xi_j\xi_k \geq 0 </math>
gilt.<ref name="Lex-272"/> In diesem Fall ist <math>F</math> eindeutig bestimmt.<ref name="Lex-272"/>
Eine Variante der Fragestellung ergibt sich, wenn nur endlich viele Konstanten <math>d_0,d_1,\dots,d_n</math> gegeben sind und eine Verteilungsfunktion mit der Eigenschaft
- <math> d_k = \int_0^{2\pi} \mathrm{e}^{\mathrm{i}kx}\mathrm{d}F(x), \quad k = 1,\dots,n </math>
gesucht ist. Dieses Problem heißt gestutztes Momentenproblem (engl. truncated moment problem).<ref>{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref>
Literatur
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Einzelnachweise
<references> <ref name="stieltjes"> {{#invoke:Vorlage:Literatur|f}} </ref> <ref name="gene"> {{#invoke:Vorlage:Literatur|f}} </ref> <ref name="shohat"> {{#invoke:Vorlage:Literatur|f}} </ref> <ref name="landau"> {{#invoke:Vorlage:Literatur|f}} </ref> </references>