Morse-Potential

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Das Morse-Potential (blau) im Vergleich zum quadratischen Potential des harmonischen Oszillators (grün).
Eingezeichnet sind auch die Energiestufen, die beim Harmonischen Oszillator äquidistant sind (<math>\hbar \omega</math>), beim Morsepotential hingegen mit zunehmender Energie immer weniger Abstand haben, bis zur Bindungsenergie <math>D_e</math>, die größer als die tatsächlich benötigte Energie <math>D_0</math> zur Flucht aus der Potentialmulde ist, da die Nullpunktenergie <math>\left( \nu = 0 \right)</math> größer Null ist.

Das Morse-Potential <math>V</math> ist ein Begriff aus der Molekülphysik. Der 1929 vom US-amerikanischen Physiker Philip McCord Morse<ref>{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref> vorgeschlagene Zusammenhang beschreibt den Verlauf des elektronischen Potentials eines zweiatomigen Moleküls in Abhängigkeit vom Kernbindungsabstand <math>R</math> durch eine exponentielle Näherung:

<math>V(R) = D_\text{e} \cdot \left( 1 - \mathrm e^{-a \cdot (R - R_\text{e})} \right) ^2</math>

mit

<math>D_\text{e}</math> die (spektroskopische) Dissoziationsenergie
<math>R_\text{e}</math> der Kernabstand mit der geringsten potentiellen Energie und
<math>a</math> eine Konstante (manchmal als „Steifigkeit des Potentials“<ref>{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref> bezeichnet)

Diese Größen sind für das betrachtete Molekül charakteristisch.

Da man üblicherweise das Potential im Unendlichen als null definiert:

<math>V(\infty) = 0</math>

wird das Morse-Potential häufig in der alternativen Form angegeben:

<math>V(R) -D_\text{e} = D_\text{e} \cdot \left(\mathrm e^{-2a\cdot (R - R_\text{e})} - 2\mathrm e^{-a\cdot (R - R_\text{e})}\right) </math>

Dadurch verschiebt sich das Nullpunktpotential um <math>-D_\text{e}</math>. Diese Verschiebung ermöglicht die Definition eines cutoff-Radiuses, ab dem das Potential nicht mehr berücksichtigt wird.

Die Schrödinger-Gleichung ist mit dem Morsepotential analytisch lösbar. So können die Schwingungsenergien <math>E_\nu</math> berechnet werden:

<math>E_\nu = h \omega_0 \cdot \left(\nu + \frac{1}{2}\right) - \frac{h^2 \omega_0^2}{4 D_\text{e}} \cdot \left(\nu + \frac{1}{2}\right)^2 </math>

mit

der Planck-Konstante <math>\ h </math>
der Schwingungsquantenzahl <math>\nu</math>
der Frequenz <math>\omega_0</math>, die über die Teilchenmasse <math>m</math> mit der Konstante <math>a</math> des Morse-Potentials verknüpft ist

<math>\omega_0 = \frac{a}{2\pi} \sqrt{\frac{2D_\text{e}}{m}}</math>

Heutzutage wird für die Berechnung von Schwingungsenergien eher das RKR-Potential (RKR steht hierbei für Ragnar Rydberg, Oskar Klein und Lloyd Rees) oder das Lennard-Jones-Potential angewendet.

Literatur

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Einzelnachweise