Neunerrest

Der Neunerrest einer ganzen Zahl <math>n \in \Z</math> ist der Rest <math>\in \N_0</math>, den sie bei Division durch 9 lässt, also eine der neun natürlichen Zahlen 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 oder 8.

<math>\text{Neunerrest von } n = n \bmod 9 \quad \in \N_0</math>

Dabei ist <math>\operatorname{mod}</math> die Modulo-Funktion, die den Rest einer ganzzahligen Division ermittelt, hier also den Rest von <math>n : 9</math>.

Dass diesem Divisionsrest ein eigener Name zugesprochen wurde, rührt von seiner Bedeutung für die sogenannte Neunerprobe her.

Berechnung

Um den Neunerrest einer natürlichen Zahl <math>n \in \N_0</math> zu ermitteln, berechnet man zuerst die dezimale Quersumme <math>q(n)</math> dieser Zahl, anschließend die Quersumme dieser Quersumme, also <math>q(q(n))</math>, und so weiter, bis die iterierte Quersumme <math>q(\dotso q(q(n)) \dotso)</math> einstellig ist. Falls sich dabei 9 ergibt, wird 9 durch 0 ersetzt, denn der Neunerrest von 9 ist wegen <math>9=1\cdot 9+0</math> („9 dividiert durch 9 ist gleich 1, Rest 0“) nicht gleich 9, sondern gleich 0.

Dieser Berechnungsweg des Neunerrests lässt sich auch auf negative Zahlen ausdehnen, indem man für die Quersumme die Beziehung

heranzieht. Man kann eventuell auftretende negative Neunerreste in positive Reste überführen, indem man (gegebenenfalls auch mehrmals) 9 addiert. Somit kann eine Verallgemeinerung der Neunerrest-Berechnung auf die Menge der ganzen Zahlen <math>\Z</math> erreicht werden.

Beispiele

n = 5387: q(5387) = 5 + 3 + 8 + 7 = 23; q(23) = 2 + 3 = 5. Der Neunerrest von 5387 ist 5.
n = 5643: q(5643) = 5 + 6 + 4 + 3 = 18; q(18) = 1 + 8 = 9. Der Neunerrest von 5643 ist 0.
n = –418: q(–418) = –q(418) = –(4 + 1 + 8) = –13; q(–13) = –q(13) = –(1 + 3) = –4; negatives Ergebnis, also 9 hinzuaddieren: –4 + 9 = 5. Der Neunerrest von –418 ist 5.
n = +418: q(418) = 4 + 1 + 8 = 13; q(13) = 1 + 3 = 4. Der Neunerrest von +418 ist hingegen 4.

Eigenschaften

Satz

Es gilt, dass stets eine (ohne Rest) durch 9 teilbare Zahl entsteht, wenn man von einer natürlichen Zahl <math>n</math> deren Quersumme <math>q(n)</math> subtrahiert:

<math>\forall n \in \N_0 \colon \quad \frac{n-q(n)}{9} \in \N_0</math>

Beispiel 1

Herleitung

Mit der dezimalen Zifferndarstellung

<math>n=\sum _{k=0}^{m-1} 10^k\cdot z_k=z_0+10\cdot z_1+100\cdot z_2+\dotsb +10^{m-1}\cdot z_{m-1}</math>

und der Quersumme

<math>q(n)=\sum_{k=0}^{m-1} z_k=z_0+z_1+z_2+\dotsb +z_{m-1}</math>

einer m-stelligen natürlichen Zahl <math>n</math> ergibt sich

<math>\begin{align}

n - q(n) &= \sum _{k=0}^{m-1} 10^k \cdot z_k - \sum_{k=0}^{m-1} z_k\\

 &= \sum _{k=0}^{m-1} \left( 10^k \cdot z_k - z_k \right)\\
 &= \sum _{k=0}^{m-1} \left( 10^k - 1 \right) \cdot z_k\\
 &= 0 \cdot z_0 + 9 \cdot z_1 + 99 \cdot z_2 + 999 \cdot z_3 + \dotsb + (10^{m-1} - 1) \cdot z_{m-1}.

\end{align}</math> Hieraus folgt nach Division durch 9

<math>\frac{n-q(n)}{9}=\sum _{k=1}^{m-1} R_k\cdot z_k=1\cdot z_1+11\cdot z_2+111\cdot z_3+\dotsb+R_{m-1}\cdot z_{m-1}.</math>

Dabei ist

<math>R_k := \frac{10^k - 1}{9} = \frac{\overbrace{99 \dotso 9}^{k \text{ Ziffern}}}{9} = \overbrace{11 \dotso 1}^{k \text{ Ziffern}}</math>, mit <math>k \in \N</math>,

die <math>k</math>-te Repunit (im Dezimalsystem), ihre <math>k</math> Ziffern sind alle gleich 1.

Beispiel 2

Bei <math>n=5432</math> ist <math>z_0=2</math>, <math>z_1=3</math>, <math>z_2=4</math> und <math>z_3=5</math>. 5 ist also tausendmal, 4 hundertmal, 3 zehnmal und 2 einmal enthalten. Zieht man die Quersumme ab, bleiben <math>999\cdot5</math>, <math>99\cdot4</math>, <math>9\cdot3</math> und <math>0\cdot2</math> übrig, was offensichtlich sowohl einzeln als auch in Summe ohne Rest durch 9 teilbar ist:

<math>5432-5-4-3-2=\sum _{k=0}^3 \left(10^k-1\right)\cdot z_k=0\cdot 2+9 \cdot 3+99 \cdot 4+999 \cdot 5=9\cdot(1\cdot 3+11\cdot 4+111\cdot 5)=9\cdot 602</math>

Andere Stellenwertsysteme

Das oben beschriebene Verfahren zur Ermittlung des Neunerrests ist nur im Dezimalsystem gültig. Für andere Stellenwertsysteme gibt es aber eine analoge Regel: An die Stelle von 9 tritt dort die größte Ziffer des Systems, also die um 1 verminderte Basis des Stellenwertsystems. Im Hexadezimalsystem wird daher mit F₁₆ (= dezimal 15) gerechnet, im Oktalsystem mit 7₈. Man spricht dann vom hexadezimalen „F-Rest“ oder 15er-Rest bzw. vom oktalen 7er-Rest.

Beispiele im Hexadezimalsystem

n = AD37E9: q(AD37E9) = A + D + 3 + 7 + E + 9 = 38; q(38) = 3 + 8 = B. Der hexadezimale „F-Rest“ (auch 15er-Rest genannt) von AD37E9 ist gleich B.
n = 210F84: q(210F84) = 2 + 1 + 0 + F + 8 + 4 = 1E; q(1E) = 1 + E = F; aus F wird 0. Der hexadezimale „F-Rest“ von 210F84 ist gleich 0.

Beispiele im Oktalsystem

n = 17365: q(17365) = 1 + 7 + 3 + 6 + 5 = 26; q(26) = 2 + 6 = 10; q(10) = 1 + 0 = 1. Der oktale 7er-Rest von 17365 ist gleich 1.
n = 52016734: q(52016734) = 5 + 2 + 0 + 1 + 6 + 7 + 3 + 4 = 34; q(34) = 3 + 4 = 7; aus 7 wird 0. Der oktale 7er-Rest von 52016734 ist gleich 0.

Siehe auch