Newtonsche Abbildungsgleichung
Die newtonsche Abbildungsgleichung ist eine nach dem englischen Physiker Isaac Newton benannte Formel der Strahlenoptik.
Sie lautet <math>f^2 = z \cdot z'</math> und wird vielfach anstelle der Linsengleichung <math>\frac{1}{f} = \frac{1}{g} + \frac{1}{b}</math> verwendet. Hierbei steht z bzw. z’ für die Differenz aus Gegenstandsweite bzw. Bildweite und Brennweite.
Herleitung mit dem Strahlensatz
Betrachtet man den untersten vom Gegenstand G ausgehenden Strahl in der Abbildung, und den obersten zum Bild einfallenden Strahl (also die Strahlen durch die beiden Brennpunkte), so folgt aus dem Strahlensatz
- <math>\frac{G}{B} = \frac{z}{f} = \frac{f}{z'}</math>
Hierbei sind <math>G</math> und <math>B</math> die Höhe des Gegenstandes bzw. Bildes. Die newtonsche Abbildungsgleichung ergibt sich unmittelbar aus dem rechten Gleichheitszeichen durch Erweitern mit <math>f z'</math>.
Herleitung aus der Linsengleichung
Die newtonsche Abbildungsgleichung ist äquivalent zur Linsengleichung:
- <math>\frac{1}{f} = \frac{1}{g} + \frac{1}{b}</math>
Es ergibt sich nach einfachen arithmetischen Umformungen:
<math> \begin{align} f &= \frac{g \cdot b}{g+b}\\ f (g + b) &= g \cdot b\\ f \cdot g + f \cdot b &= g \cdot b \end{align} </math>
Nach Addition von <math>f^2 - f\cdot g - f \cdot b</math> auf beiden Seiten erhält man
<math> \begin{align} f^2 &= g \cdot b - g \cdot f - b \cdot f + f^2 \\ &= (g - f)(b - f) \end{align} </math>
was wegen
- <math>\ z = g - f</math> und <math>\ z' = b - f</math>
zum gewünschten Resultat führt.
Quellen
- Lexikon der Physik: Abbildungsgleichungen. Abgerufen am 17. Juni 2014.