No-Cloning-Theorem

Das No-Cloning-Theorem ist ein bedeutsamer Lehrsatz der Quantenphysik. Das No-Cloning-Theorem besagt, dass man von einem unbekannten Quantenzustand keine Kopie erstellen kann.<ref> {{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref> Demnach ist es nicht möglich, ein System zu bauen, das jedes beliebige Qubit (Quantenbit) perfekt auf ein anderes Qubit kopiert, ohne dabei das ursprüngliche zu verändern. Das Theorem kann einerseits als Konsequenz der Unitarität von quantenmechanischen Zeitentwicklungsoperatoren oder der Linearität von Operatoren gesehen werden.

Das No-Cloning-Theorem hat weitreichende Folgen für die Quanteninformatik. Zum einen können klassische Fehlerkorrekturcodes, die darauf beruhen, die zu übertragende Information zu kopieren, nicht angewandt werden. Zum anderen kann niemand eine entsprechende Informationsübertragung unbemerkt abhören, da er dazu eine Kopie der übertragenen Qubits anlegen müsste. Das Theorem bildet eine der Grundlagen der Quantenkryptografie.

Zur Geschichte

Auslöser der Entdeckung des No-Cloning-Theorems war 1982 eine Arbeit von Nick Herbert,<ref name="peres">{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref> nach der es möglich wäre, durch das Kopieren von Qubits eine überlichtschnelle Informationsübertragung zu realisieren.<ref>{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref> William Wootters und Wojciech Zurek und zeitgleich und unabhängig von ihnen Dennis Dieks veröffentlichten im gleichen Jahr das No-Cloning-Theorem<ref>{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref><ref>{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref> und zeigten damit, dass auf diese Art und Weise keine überlichtschnelle Informationsübertragung erfolgen kann.<ref name="BRUSS">Dagmar Bruß: Quanteninformation. Fischer Taschenbuch Verlag, Frankfurt am Main 2003, ISBN 3-596-15563-0, S. 35–40.</ref>

Wie Asher Peres anmerkt,<ref name="peres" /> wurde das No-Cloning-Theorem schon 1980 in einem unveröffentlichten Refereereport von Giancarlo Ghirardi bewiesen.<ref>später veröffentlicht in: {{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref> Auf einen noch früheren Beweis durch James Park im Jahr 1970<ref>{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref> wies später Juan Ortigoso hin.<ref>{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref>

Das No-Cloning-Theorem besagt, dass ein unbekannter, unverschlüsselter Quantenzustand nicht perfekt kopiert werden kann. 2026 wurde ein Weg gefunden, Qubits zu verschlüsseln, während sie geklont werden. Die One-Time-Pad-Verschlüsselung macht Kopien unlesbar. Das Theorem wird umgangen, weil die Entschlüsselung der Kopien einen "One-Time-Key" verbraucht. Es wird nur jeweils eine Kopie entschlüsselt, was das No-Cloning-Theorem respektiert, aber dennoch Kopien im Quantencloud-Bereich erlaubt.<ref>{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref>

Beweis

Das No-Cloning-Theorem wird durch Widerspruchsbeweis gezeigt. Es wird angenommen, dass ein quantenmechanisches Verfahren existiert, das Qubits in einem beliebigen Zustand perfekt kopieren kann. Diese Annahme wird anschließend zum Widerspruch geführt.<ref name="HOMEISTER">{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref>

Laut Annahme wirkt eine perfekte Quanten-Kopiermaschine wie folgt: sie erhält als Input ein Quantensystem in einem beliebigen Zustand <math>|\varphi\rangle</math> und liefert als Ausgabe zwei Quantensysteme, jedes davon im Zustand <math>|\varphi\rangle</math> also beide zusammen im Produktzustand <math>|\varphi\rangle\otimes|\varphi\rangle</math>. Das Theorem wird hier für den Spezialfall, dass die Kopiermaschine durch eine unitäre Abbildung auf der Raum der Input- und Outputsysteme realisiert werden kann, bewiesen, das Theorem gilt aber für beliebige Quantenkanäle, die allgemeinste Form von spurerhaltenden Quantenoperationen.<ref name="watrous">{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref>

Es seien nun <math>|\phi \rangle</math> und <math>|\psi \rangle</math> zwei beliebige Zustände, die auf einen davon unabhängigen Zustand <math>|k \rangle</math> kopiert werden sollen. Da Skalarprodukte (und Wahrscheinlichkeiten) erhalten werden sollen, kann das dazu notwendige Verfahren nur durch eine unitäre Abbildung <math>U</math> beschrieben werden. Diese muss zur Kopienbildung folgende Eigenschaften besitzen:

<math>U(|\phi \rangle \otimes |k \rangle) = |\phi \rangle \otimes |\phi \rangle</math>

<math>U(|\psi \rangle \otimes |k \rangle) = |\psi \rangle \otimes |\psi \rangle</math>

Für das Skalarprodukt <math>\langle U(\phi \otimes k) | U(\psi \otimes k) \rangle</math> lassen sich also folgende zwei Gleichungen angeben:

<math>\langle U(\phi \otimes k) | U(\psi \otimes k) \rangle = \langle \phi \otimes \phi | \psi \otimes \psi \rangle</math>

<math>\langle U(\phi \otimes k) | U(\psi \otimes k) \rangle = \langle \phi \otimes k | \psi \otimes k \rangle</math>

Die erste Gleichung folgt hierbei durch Einsetzen der obigen Gleichungen, während sich die zweite Gleichung ergibt, da unitäre Abbildungen das Skalarprodukt nicht verändern. Somit erhält man

<math>\langle \phi \otimes \phi | \psi \otimes \psi \rangle = \langle \phi \otimes k | \psi \otimes k \rangle,</math>

sowie auf Grund der Verträglichkeit von Skalarprodukt und Tensorprodukt

<math>\langle \phi | \psi \rangle \langle \phi | \psi \rangle = \langle \phi | \psi \rangle \langle k | k \rangle\,.</math>

Da <math>\langle k | k \rangle = 1 </math> folgt also

<math>\langle \phi | \psi \rangle^2 = \langle \phi | \psi \rangle.</math>

Diese Gleichung hat nur die Lösungen <math>\langle \phi | \psi \rangle = 0</math> und <math>\langle \phi | \psi \rangle = 1</math>. Das bedeutet, dass entweder <math>\phi = \psi</math> ist (falls <math>\langle \phi | \psi \rangle = 1</math>) oder <math>\phi</math> und <math>\psi</math> orthogonal sind (falls <math>\langle \phi | \psi \rangle = 0</math>). Damit kann ein quantenmechanisches Verfahren, welches in der Lage ist, einen Zustand <math>\psi</math> zu kopieren, bestenfalls noch zu <math>\psi</math> und auch untereinander orthogonale Zustände kopieren. Von allen anderen Zuständen produziert das Verfahren nur fehlerhafte Kopien (mit Fidelität <math>F<1</math>).

Ein alternativer Beweis, welcher die Linearität von <math>U</math> ausnutzt, lässt sich folgendermaßen formulieren:<ref name="FAYNGOLD">Moses Fayngold, Vadim Fayngold: Quantum Mechanics and Quantum Information. Wiley-VCH, ISBN 978-3-527-40647-0, S. 609–610.</ref>

Sei <math>| \phi \rangle </math> der Zustand, welcher auf <math>| k \rangle </math> kopiert werden soll. Wir entwickeln <math>| \phi \rangle </math> in eine beliebige Basis <math>|\phi_j\rangle</math> :

<math>| \phi \rangle = \sum_j a_j | \phi_j \rangle </math>

mit beliebigen Entwicklungskoeffizienten <math>a_j</math>. Mit dieser Entwicklung folgt bei der Anwendung von <math> U </math>

Da <math> U </math> einen beliebigen Zustand kopieren soll, muss auch für die einzelnen Basisvektoren <math> \phi_j </math> gelten:

<math>U(|\phi_j \rangle \otimes |k \rangle) = |\phi_j \rangle \otimes |\phi_j \rangle </math>

Dies impliziert jedoch für den Kopiervorgang von <math>| \phi \rangle </math>

<math>U(|\phi \rangle \otimes |k \rangle) = U\left(\sum_j a_j | \phi_j \rangle \otimes |k \rangle\right) \stackrel{\text{Lin.}}{=}\sum_j a_j U(| \phi_j \rangle \otimes |k \rangle) = \sum_j a_j |\phi_j \rangle \otimes |\phi_j \rangle</math>

wobei wir die Linearität von <math> U </math> verwendet haben. Es gilt jedoch

<math>\sum_j a_j | \phi_j \rangle \otimes \sum_j a_j | \phi_j \rangle \neq\sum_j a_j |\phi_j \rangle \otimes |\phi_j \rangle </math>

was die Existenz eines solchen <math> U </math> widerlegt.

Quellen