Normaler Operator

In der Funktionalanalysis verallgemeinert der normale Operator den Begriff der normalen Matrix aus der linearen Algebra.

Definition

Ist <math>X</math> ein Hilbertraum und bezeichnet <math>\mathcal{L}(X)</math> die Menge aller stetigen Endomorphismen von <math>X</math> (d. h. beschränkte lineare Operatoren), so heißt ein Operator <math>A \in \mathcal{L}(X)</math> normal, falls er mit seinem adjungierten Operator <math>A^{\ast}</math> kommutiert, also wenn

<math> A A^{\ast} = A^{\ast} A</math>

gilt.

Beispiele

• Selbstadjungierte und unitäre Operatoren sind offenbar normal.
• Der unilaterale Shift ist ein Beispiel für einen nicht-normalen Operator.

Eigenschaften

Sei <math>A\in\mathcal{L}(X)</math> ein normaler Operator. Dann gilt:

• <math> \|Ax\| = \|A^{\ast}x\| </math> für alle <math>x\in X</math>
• er ist paranormal:

<math> \|Ax\|^2 \le \|A^2 x\| \|x\| </math> für alle <math>x\in X</math>

• Für alle <math>n\in\mathbb{N}</math> ist auch <math>A^n</math> normal.
• Die Operatornorm von <math>A</math> ist gleich dem Spektralradius: <math> \|A\| = \sup\{|\lambda| \colon \lambda \in \sigma(A)\}.</math> Dabei bezeichnet <math>\sigma(A)</math> das Spektrum von <math>A</math>.
• Die von <math>A</math> erzeugte C^*-Algebra und die von <math>A</math> erzeugte Von-Neumann-Algebra sind kommutativ. Dieser Sachverhalt ermöglicht einen Funktionalkalkül.
• Die Diagonalisierbarkeit normaler Matrizen in der linearen Algebra verallgemeinert sich auf normale Operatoren in Form des Spektralsatzes.
• Eine Klassifikation normaler Operatoren besteht bzgl. unitärer Äquivalenz modulo kompakter Operatoren, indem man zur Calkin-Algebra übergeht, die im endlich-dimensionalen Fall <math>\{0\}</math> ist. Das ist im Artikel zur Calkin-Algebra ausgeführt.
• Ein beschränkter Operator <math>A</math> in einem komplexen Hilbertraum lässt sich zerlegen in <math>A=W_1+i\, W_2</math> mit dem „Realteil“ <math>W_1 = \tfrac{1}{2}(A+A^{\ast})</math> und dem „Imaginärteil“ <math>W_2=\tfrac{1}{2i}(A-A^{\ast} ).</math> Dabei sind die Operatoren <math>W_i</math> selbstadjungiert. <math>A</math> ist genau dann normal, wenn <math>W_1 W_2= W_2 W_1</math>.

Verwandte Begriffe

Ein Operator <math>A\in\mathcal{L}(X)</math> heißt

• quasinormal, falls <math>A\,\!</math> mit <math>A^{\ast}A</math> vertauscht, das heißt <math>AA^{\ast}A=A^{\ast}AA</math>.
• subnormal, falls es einen Hilbertraum <math>Y</math> gibt, so dass <math>X</math> Unterraum von <math>Y</math> ist, und einen normalen Operator <math>B\in\mathcal{L}(Y)</math>, so dass <math>B(X)\subset X</math> und <math>A=B|_X</math>.
• hyponormal, falls <math>\|A^{\ast}x\| \le \|Ax\| </math> für alle <math>x\in X</math>.
• Class A, falls <math>|A^2| \ge |A|^2</math>, wobei <math>|A| := (A^{\ast}A)^{1/2}</math> der Betrag von <math>A</math> ist, also ausgeschrieben <math>A^{\ast}A \le \big((A^{\ast})^{2}A^{2}\big)^{1/2}</math>.<ref>{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref>
• paranormal, falls <math> \|Ax\|^2 \le \|A^2x\| \|x\| </math> für alle <math>x\in X</math>.
• normaloid, falls Operatornorm = Spektralradius, d. h.: <math> \|A\| = \sup\{|\lambda|; \lambda \in \sigma(A)\} </math>.

Es gelten folgende Implikationen:

normal <math>\Rightarrow</math> quasinormal <math>\Rightarrow</math> subnormal <math>\Rightarrow</math> hyponormal <math>\Rightarrow</math> Class A <math>\Rightarrow</math> paranormal <math>\Rightarrow</math> normaloid.

Aussagen

Der Satz von Ando von Tsuyoshi Ando sagt, gibt es für einen paranormalen Operator <math>T</math> ein <math>n \in \mathbb{N}</math>, so dass <math>T^n</math> normal ist, dann ist <math>T</math> normal.<ref>{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref> Der Satz verallgemeinert ein Resultat von Joseph Gail Stampfli, der die Aussage für hyponormale Operatoren gezeigt hat.<ref>{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref>

Unbeschränkte Operatoren

Ein unbeschränkter Operator <math>A: D(A) \subseteq X \to X</math> mit Definitionsbereich <math>D(A)</math> heißt normal falls

<math> \| A x\| = \|A^\ast x\|, \qquad \forall x\in D(A)=D(A^\ast)</math>

gilt. Oben genannte äquivalente Charakterisierung der Normalität zeigt, dass es sich um eine Verallgemeinerung der Normalität beschränkter Operatoren handelt. Alle selbstadjungierten Operatoren sind normal, denn für diese gilt <math>A^\ast = A</math>.

Literatur

• Harro Heuser: Funktionalanalysis. B.G. Teubner, Stuttgart (1986), ISBN 3-519-22206-X.
• Gerald Teschl: Mathematical Methods in Quantum Mechanics, American Mathematical Society, Providence (2009), ISBN 978-0-8218-4660-5. (freie Online-Version)

Einzelnachweise

<references />