Normtopologie
Eine Normtopologie ist in der Mathematik eine Topologie auf einem normierten Vektorraum, die durch die Norm des Vektorraums induziert wurde.
Definition
Ist <math>(V, \| \cdot \|)</math> ein normierter Vektorraum, so induziert die Norm des Raums durch Differenzenbildung zweier Vektoren <math>x, y \in V</math> eine Metrik
- <math>d(x,y) := \| x-y \|</math>.
auf <math>V</math>. Mit dieser Metrik wird der Vektorraum zu einem metrischen Raum <math>(V, d)</math>. Eine Metrik kann nun verwendet werden, um eine ε-Umgebung um einen Vektor <math>x \in V</math> durch
- <math>U_\varepsilon(x) := \{\, y \in V, \, d\,(x,y) < \varepsilon \,\}</math>
zu definieren. Damit heißt dann eine Teilmenge <math>M \subset V</math> offen, falls
- <math>\forall\ {x \in M} \; { \exists\ \varepsilon} > 0 : U_\varepsilon(x) \subset M</math>
gilt. Über diese offenen Mengen induziert die Metrik nun auf <math>V</math> eine Topologie
- <math>\mathcal{T} := \{ M \subset V, \, M \, \text{offen} \}</math>.
Mit dieser Topologie wird der Vektorraum zu einem topologischen Vektorraum <math>(V, \mathcal{T})</math> und diese letztendlich von der Norm induzierte Topologie heißt Normtopologie.
Topologie-Axiome
Die Normtopologie ist tatsächlich eine Topologie, wie sich durch eine Überprüfung der drei Topologie-Axiome, die in der folgenden Form für alle metrischen Räume gültig ist, nachweisen lässt.
- Die leere Menge und die Grundmenge sind offen:
Die leere Menge ist offen, da es kein <math>x</math> gibt, für das eine geeignete ε-Umgebung gefunden werden müsste. Die Grundmenge <math>V</math> ist offen, da sie eine ε-Umgebung aller ihrer Elemente ist. - Der Durchschnitt endlich vieler offener Mengen ist offen:
Seien die Mengen <math>M_1, \ldots , M_n</math> mit <math>n \in \N</math> offen. Dann existieren Schranken <math>\varepsilon_1, \ldots ,\varepsilon_n</math> und ein <math>x</math> aus dem Schnitt dieser Mengen, sodass <math>U_{\varepsilon_i}(x) \subset M_i</math> für <math>i = 1, \ldots , n</math> gilt. Wählt man nun <math>\varepsilon = \min \{ \varepsilon_1, \ldots , \varepsilon_n \}</math>, dann ist <math>U_\varepsilon(x) \subset M_1 \cap \ldots \cap M_n</math> und somit ist der Durchschnitt dieser Mengen offen. - Die Vereinigung beliebig vieler offener Mengen ist offen:
Sei <math>I</math> nun eine beliebige Indexmenge und seien die Mengen <math>M_i</math> für <math>i \in I</math> offen. Liegt <math>x</math> in der Vereinigung dieser Mengen, dann gibt es einen Index <math>i \in I</math> mit <math>x \in M_i</math> und eine Schranke <math>\varepsilon</math>, sodass <math>U_\varepsilon(x) \subset M_i</math> gilt. Daraus folgt dann <math>U_{\varepsilon}(x) \subset \bigcup_{i \in I} M_i</math> und somit ist die Vereinigung dieser Mengen offen.
Eigenschaften
- Die Normtopologie ist eine spezielle starke Topologie. Sie ist von der schwachen Topologie und der schwach-*-Topologie zu unterscheiden.
- Ein mit einer Normtopologie versehener topologischer Raum ist immer hausdorffsch, da zwei Vektoren <math>x,y \in V</math> mit <math>x \neq y</math> durch Umgebungen <math>U_\varepsilon(x)</math> und <math>U_\varepsilon(y)</math> mit <math>\textstyle \varepsilon = \tfrac{1}{2} d(x,y)</math> voneinander getrennt werden.
- Nach dem Normierbarkeitskriterium von Kolmogoroff wird die Topologie eines hausdorffschen topologischen Vektorraums genau dann durch eine Norm erzeugt, wenn er eine beschränkte und konvexe Nullumgebung besitzt.
Literatur
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