Offenes Buch

In der Mathematik sind Offene Bücher (engl.: open book decompositions) gewisse Zerlegungen von Mannigfaltigkeiten, die bei der Klassifikation von Kontaktstrukturen und bei der Konstruktion von Blätterungen nützlich sind.

Definition

Sei <math>M</math> eine geschlossene orientierte <math>n</math>-Mannigfaltigkeit. Ein offenes Buch auf <math>M</math> ist ein Paar <math>(B,\pi)</math> mit:

1. <math>B</math> ist eine orientierte <math>(n-2)</math>-dimensionale Untermannigfaltigkeit, die Bindung des offenen Buches.
2. <math>\pi\colon M\setminus B\to S^1</math> ist ein Faserbündel, so dass <math>\pi^{-1}(\theta)</math> das Innere einer kompakten <math>(n-1)</math>-dimensionalen Mannigfaltigkeit <math>\Sigma_\theta</math> – der Seite des offenen Buches – und <math>\partial\Sigma_\theta=B</math> für alle <math>\theta\in S^1</math> ist.

Existenz

Satz von Alexander (1920): Jede geschlossene orientierte 3-Mannigfaltigkeit lässt sich als offenes Buch darstellen.

Satz von Winkelnkemper (1973): Eine einfach zusammenhängende geschlossene Mannigfaltigkeit der Dimension <math>n\ge 6</math> lässt sich als offenes Buch darstellen genau dann, wenn ihre Signatur verschwindet. (Letzteres trifft insbesondere immer zu, falls <math>n</math> nicht durch 4 teilbar ist.)  

Blätterungen

Sei <math>(B,\pi)</math> ein offenes Buch auf einer 3-Mannigfaltigkeit <math>M</math>. Dann hat <math>M-B</math> eine Blätterung durch Fasern von <math>\pi</math> und auf einer Umgebung der Bindung <math>U(B)=B\times D^2</math> kann man die Reeb-Blätterung definieren, diese hat insbesondere <math>B\times \partial D^2</math> als ein kompaktes Blatt. Durch Turbulisierung kann man die Blätterung auf <math>M\setminus U(B)</math> tangential zu diesem kompakten Blatt machen, erhält also eine Blätterung auf ganz <math>M</math>.

Kontaktstrukturen

Sei <math>(B,\pi)</math> ein offenes Buch auf einer 3-Mannigfaltigkeit <math>M</math>. Eine Kontaktstruktur <math>\xi=\ker(\alpha)</math> wird von <math>(B,\pi)</math> getragen, wenn

1. <math>d\alpha</math> eine positive Volumenform auf jeder Seite <math>\Sigma_\theta</math> ist und
2. <math>\alpha>0</math> auf der Bindung <math>B</math>.

Satz von Thurston-Winkelnkemper (1975): Jedes offene Buch trägt eine Kontaktstruktur.

Satz von Giroux (2000): Jede orientierte Kontaktstruktur wird von einem offenen Buch getragen. Zwei vom selben offenen Buch getragene Kontaktstrukturen sind isotop.

Literatur

• Etnyre: Lectures on open book decompositions and contact structures (PDF; 426 kB)
• Martínez: Open Book decompositions and contact geometry (PDF; 223 kB)

Weblinks

• Manifold Atlas: Open Book