Pisot-Zahl

Eine Pisot-Zahl oder Pisot–Vijayaraghavan-Zahl, benannt nach Charles Pisot (1910–1984) und Tirukkannapuram Vijayaraghavan (1902–1955), ist eine ganze algebraische Zahl <math>\alpha > 1</math>, für die gilt, dass ihre Konjugierten <math>\alpha_2</math>, …, <math>\alpha_d</math> ohne <math>\alpha</math> selbst (also die anderen Wurzeln des Minimalpolynoms von <math>\alpha</math>) sämtlich innerhalb des Einheitskreises liegen: <math>\rho = \max\{|\alpha_2|, \ldots, |\alpha_d|\} < 1</math>. Mit „=“ statt „<“, also <math>\max\{|\alpha_2|, \ldots, |\alpha_d|\} = 1</math>, erhält man die Definition einer Salem-Zahl, benannt nach Raphaël Salem. Traditionell wird die Menge der Pisot-Zahlen mit S und die Menge der Salem-Zahlen mit T bezeichnet.

Eigenschaften

Die Potenzen <math>\alpha^k</math> einer Pisot-Zahl <math>\alpha</math> liegen exponentiell nah an ganzen Zahlen:

<math>\min\bigl\{|\alpha^k - z|\,\big|\,z\in\mathbb{Z}\bigr\} \le (d-1) \rho^k</math>

Adriano M. Garsia wies 1962 nach, dass die Menge der reellen Zahlen <math>|\varepsilon_n\,\alpha^n + \varepsilon_{n-1}\,\alpha^{n-1} + \ldots + \varepsilon_1\,\alpha + \varepsilon_0|</math> mit <math>n</math> = 0, 1, 2, … und <math>\varepsilon_0, \ldots, \varepsilon_n \in \{-1, 0, +1\}</math> diskret ist. Es ist ein ungelöstes Problem, ob diese Eigenschaft auch ein <math>\alpha > 1</math>, das keine Pisot-Zahl ist, haben kann.

Raphaël Salem zeigte 1944 mit fourieranalytischen Methoden, dass die Menge der Pisot-Zahlen eine abgeschlossene Teilmenge der reellen Zahlen ist.

Beispiele

Jede ganze Zahl größer als 1 ist eine Pisot-Zahl. Weitere Beispiele von Pisot-Zahlen sind die positiven Lösungen <math>\beta_n</math> der algebraischen Gleichungen

für <math>n</math> = 2, 3, …, eine Folge mit <math>\beta_n \to 2</math>. Insbesondere ist die Goldene Zahl

<math>\Phi = \beta_2</math> = 1,61803 39887 49894 84820 …<ref>Folge A001622 in OEIS</ref>

eine Pisot-Zahl. Sie ist zudem der kleinste Häufungspunkt in der Menge der Pisot-Zahlen (Dufresnoy und Pisot 1955). Die beiden kleinsten Pisot-Zahlen sind

<math>\theta_1</math> = 1,32471 79572 44746 02596 …,<ref>Folge A060006 in OEIS</ref>

die reelle Lösung von <math>x^3 - x - 1=0</math>, und

<math>\theta_2</math> = 1,38027 75690 97614 11567 …,<ref>Folge A086106 in OEIS</ref>

die positive reelle Lösung von <math>x^4 - x^3 - 1=0</math>.

Anwendungen

Anwendungen von Pisot-Zahlen finden sich in der geometrischen Maßtheorie, im Zusammenhang mit Bernoulli-Faltungen, in der Dimensionstheorie und der Graphentheorie bei der Konstruktion von Pisot-Graphen.

Literatur

Charles Pisot: La répartition modulo 1 et les nombres algébriques. In: Annali della Scuola Normale Superiore di Pisa – Classe di Scienze, 7, 1938, S. 205–248 (Dissertation; französisch)
T. Vijayaraghavan: On the fractional parts of the powers of a number (englisch)
- I. In: Journal of the London Mathematical Society, 15, 1940, S. 159–160
- II. In: Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, 37, 1941, S. 349–357
- III. In: Journal of the London Mathematical Society, 17, 1942, S. 137–138
- IV. In: Journal of the Indian Mathematical Society, 12, 1948, S. 33–39
Raphaël Salem: A remarkable class of algebraic integers. Proof of a conjecture of Vijayaraghavan. In: Duke Mathematical Journal, 11, 1944, S. 103–107 (englisch)
Jacques Dufresnoy, Charles Pisot: Étude de certaines fonctions méromorphes bornées sur le cercle unité. Application à un ensemble fermé d’entiers algébriques. In: Annales scientifiques de l’École Normale Supérieure, 72, 1955, S. 69–92 (französisch)
Raphaël Salem: Algebraic numbers and Fourier Analysis. Heath, Boston 1963 (englisch)
Adriano M. Garsia: Arithmetic properties of Bernoulli convolutions. In: Transactions of the AMS, 102, 1962, S. 409–432 (englisch)
Adriano M. Garsia: Entropy and singularity of infinite convolutions. In: Pacific Journal of Mathematics, 13, 1963, S. 1159–1169 (englisch)
Yves Meyer: Algebraic numbers and harmonic analysis. North-Holland, Amsterdam 1972 (englisch)
Marie-José Bertin, Annette Decomps-Guilloux, Marthe Grandet-Hugot, Martine Pathiaux-Delefosse, Jean-Pierre Schreiber: Pisot and Salem numbers. Birkhäuser, Basel 1992, ISBN 3-7643-2648-4 (englisch)<ref>siehe auch Michel Mendès-France: Book Review. In: Bulletin of the AMS, 29, 1993, S. 274–278</ref>
James McKee, Chris Smith: Salem Numbers, Pisot Numbers, Mahler Measure, and Graphs. (PDF; 875 kB) In: Experimental Mathematics, 14, 2005, S. 211–229 (englisch)

Weblinks

{{#if: David Terr | David Terr | Eric W. Weisstein }}: Pisot Number. In: MathWorld (englisch). {{#if: PisotNumber | {{#ifeq: {{#property:P2812}} | PisotNumber | | {{#if: {{#property:P2812}} | {{#ifeq: 0 | 0 | }} | {{#ifeq: 0 | 0 | }} }} }} }}
David Boyd: Pisot number. In: Encyclopaedia of Mathematics, Springer, 2001 (englisch)
Andrew Potter: <templatestyles src="Webarchiv/styles.css" />{{#if:20060927111728

      | {{#ifeq: 20060927111728 | *
    | Vorlage:Webarchiv/Wartung/Stern{{#if: Pisot numbers | {{#invoke:WLink|getEscapedTitle|Pisot numbers}} | {{#invoke:Webarchiv|getdomain|http://www.scieng.ed.ac.uk/students/awards/Potter.pdf}} }} (Archivversionen)
    | {{#iferror: {{#time: j. F Y|20060927111728}}
         | {{#if:  || }}Vorlage:Webarchiv/Wartung/DatumDer Wert des Parameters {{#if: wayback | wayback | Datum }} muss ein gültiger Zeitstempel der Form YYYYMMDDHHMMSS sein!
         | {{#if: Pisot numbers | {{#invoke:WLink|getEscapedTitle|Pisot numbers}} | {{#invoke:Webarchiv|getdomain|http://www.scieng.ed.ac.uk/students/awards/Potter.pdf}} }} {{#ifeq:  | [] | [ | ( }}Memento{{#if: {{#if:  | {{{archiv-bot}}} |  }} |  des Vorlage:Referrer }} vom {{#time: j. F Y|20060927111728}} im Internet Archive{{#if: PDF | ; PDF }}{{#ifeq:  | [] | ] | ) }}
      }}
  }}
      | {{#if:
          | {{#iferror: {{#time: j. F Y|{{{webciteID}}}}}
    | {{#switch: {{#invoke:Str|len|{{{webciteID}}}}}
       | 16= {{#if: Pisot numbers | {{#invoke:WLink|getEscapedTitle|Pisot numbers}} | {{#invoke:Webarchiv|getdomain|http://www.scieng.ed.ac.uk/students/awards/Potter.pdf}} }} {{#ifeq:  | [] | [ | ( }}Memento{{#if: {{#if:  | {{{archiv-bot}}} |  }} |  des Vorlage:Referrer }} vom {{#time: j. F Y| 19700101000000 + {{#expr: floor {{#expr: {{#invoke:Str|sub|{{{webciteID}}}|1|10}}/86400}} }} days}} auf WebCite{{#if: PDF | ; PDF }}{{#ifeq:  | [] | ] | ) }}
       | 9 = {{#if: Pisot numbers | {{#invoke:WLink|getEscapedTitle|Pisot numbers}} | {{#invoke:Webarchiv|getdomain|http://www.scieng.ed.ac.uk/students/awards/Potter.pdf}} }} {{#ifeq:  | [] | [ | ( }}Memento{{#if: {{#if:  | {{{archiv-bot}}} |  }} |  des Vorlage:Referrer}} vom {{#time: j. F Y| 19700101000000 + {{#expr: floor {{#expr: {{#invoke:Str|sub|{{#invoke:Expr|base62|{{{webciteID}}}}}|1|10}}/86400}} }} days}} auf WebCite{{#if: PDF | ; PDF }}{{#ifeq:  | [] | ] | ) }}
       | #default= Der Wert des Parameters {{#if: webciteID | webciteID | ID }} muss entweder ein Zeitstempel der Form YYYYMMDDHHMMSS oder ein Schüsselwert mit 9 Zeichen oder eine 16-stellige Zahl sein!Vorlage:Webarchiv/Wartung/webcitation{{#if:  || }}
      }}
    | c|{{{webciteID}}}}} {{#if: Pisot numbers | {{#invoke:WLink|getEscapedTitle|Pisot numbers}} | {{#invoke:Webarchiv|getdomain|http://www.scieng.ed.ac.uk/students/awards/Potter.pdf}} }} (Memento{{#if: {{#if:  | {{{archiv-bot}}} |  }} |  des Vorlage:Referrer}} vom {{#time: j. F Y|{{{webciteID}}}}} auf WebCite{{#if: PDF | ; PDF }}{{#ifeq:  | [] | ] | ) }}
  }}
          | {{#if: 
              | Vorlage:Webarchiv/Today
              | {{#if:
                      | Vorlage:Webarchiv/Generisch
                      | {{#if: Pisot numbers | {{#invoke:WLink|getEscapedTitle|Pisot numbers}} | {{#invoke:Webarchiv|getdomain|http://www.scieng.ed.ac.uk/students/awards/Potter.pdf}} }}  
                 }}}}}}}}{{#if:
    | Vorlage:Webarchiv/archiv-bot
  }}{{#invoke:TemplatePar|check
     |all      = url=
     |opt      = text= wayback= webciteID= archive-is= archive-today= archiv-url= archiv-datum= ()= archiv-bot= format= original=
     |cat      = Wikipedia:Vorlagenfehler/Vorlage:Webarchiv
     |errNS    = 0
     |template = Vorlage:Webarchiv
     |format   = *
     |preview  = 1
  }}{{#ifexpr: {{#if:20060927111728|1|0}}{{#if:|+1}}{{#if:|+1}}{{#if:|+1}}{{#if:|+1}} <> 1
    | {{#if:  || }}Vorlage:Webarchiv/Wartung/Parameter{{#invoke:TemplUtl|failure| Fehler bei Vorlage:Webarchiv: Genau einer der Parameter 'wayback', 'webciteID', 'archive-today', 'archive-is' oder 'archiv-url' muss angegeben werden.|1}}
  }}{{#if: 
    | {{#switch: {{#invoke:Webarchiv|getdomain|{{{archiv-url}}}}}
        | web.archive.org = 
          {{#if:  || }}{{#invoke:TemplUtl|failure| Fehler bei Vorlage:Webarchiv: Im Parameter 'archiv-url' wurde URL von Internet Archive erkannt, bitte Parameter 'wayback' benutzen.|1}} 
        | webcitation.org = 
          {{#if:  || }}{{#invoke:TemplUtl|failure| Fehler bei Vorlage:Webarchiv: Im Parameter 'archiv-url' wurde URL von WebCite erkannt, bitte Parameter 'webciteID' benutzen.|1}} 
        | archive.today |archive.is |archive.ph |archive.fo |archive.li |archive.md |archive.vn = 
          {{#if:  || }}{{#invoke:TemplUtl|failure| Fehler bei Vorlage:Webarchiv: Im Parameter 'archiv-url' wurde URL von archive.today erkannt, bitte Parameter 'archive-today' benutzen.|1}}
      }}{{#if: 
         | {{#iferror: {{#iferror:{{#invoke:Vorlage:FormatDate|Execute}}|Vorlage:FormatDate/Wartung/Error}}
             | {{#if:  || }}Vorlage:Webarchiv/Wartung/Parameter{{#invoke:TemplUtl|failure| Fehler bei Vorlage:Webarchiv: Der Wert des Parameter 'archiv-datum' ist ungültig oder hat ein ungültiges Format.|1}}
          |  }} 
         | {{#if:  || }}Vorlage:Webarchiv/Wartung/Parameter{{#invoke:TemplUtl|failure| Fehler bei Vorlage:Webarchiv: Der Pflichtparameter 'archiv-datum' wurde nicht angegeben.|1}}
      }}
    | {{#if: 
         | {{#if:  || }}Vorlage:Webarchiv/Wartung/Parameter{{#invoke:TemplUtl|failure| Fehler bei Vorlage:Webarchiv: Der Parameter 'archiv-datum' ist nur in Verbindung mit 'archiv-url' angebbar.|1}}
      }}
  }}{{#if:{{#invoke:URLutil|isHostPathResource|http://www.scieng.ed.ac.uk/students/awards/Potter.pdf}}
    || {{#if:  || }} URL/Pfad ungültig.
  }}{{#if: Pisot numbers
    | {{#if: {{#invoke:WLink|isBracketedLink|Pisot numbers}}
        | {{#if:  || }} Linktext ungültig.
      }}
    | {{#if:  || }}Vorlage:Webarchiv/Wartung/Linktext_fehlt Linktext fehlt.
  }}{{#switch: PDF
    |addlarchives|addlpages= {{#if:  || }}{{#if: 1 |Vorlage:Webarchiv/Wartung/Parameter}}{{#invoke:TemplUtl|failure| Fehler bei Vorlage:Webarchiv: enWP-Wert im Parameter 'format'.|1}}
  }}{{#ifeq: {{#invoke:Str|find|http://www.scieng.ed.ac.uk/students/awards/Potter.pdf%7Carchiv}} |-1
    || {{#ifeq: {{#invoke:Str|find|{{#invoke:Str|cropleft|http://www.scieng.ed.ac.uk/students/awards/Potter.pdf%7C4}}%7Chttp}} |-1
         || {{#switch: {{#invoke:Webarchiv|getdomain|http://www.scieng.ed.ac.uk/students/awards/Potter.pdf }}
              | abendblatt.de | daserste.ndr.de | inarchive.com | webcitation.org = 
              | #default = {{#if:  || }}{{#if: 1 |Vorlage:Webarchiv/Wartung/URL}}{{#invoke:TemplUtl|failure| Fehler bei Vorlage:Webarchiv: Archiv-URL im Parameter 'url' anstatt URL der Originalquelle. Entferne den vor der Original-URL stehenden Mementobestandteil und setze den Archivierungszeitstempel in den Parameter 'wayback', 'webciteID', 'archive.today' oder 'archive-is' ein, sofern nicht bereits befüllt.|1}}
            }} 
       }}
  }} – einfache Einführung (englisch)

Einzelnachweise