Polygammafunktion
In der Mathematik sind die Polygammafunktionen <math>\psi_n(z)</math> eine Reihe spezieller Funktionen, die als die Ableitungen der Funktion <math>\ln\Gamma(z)</math> definiert sind. Dabei bezeichnet <math>\Gamma(z)</math> die Gammafunktion und <math>\ln</math> den natürlichen Logarithmus.
Die ersten beiden Polygammafunktionen werden Digammafunktion und Trigammafunktion genannt.
Notation
| Darstellung der ersten fünf Polygammafunktionen in der komplexen Ebene | ||
| <math>\ln\Gamma(z)</math> | <math>\psi_0(z)</math> | <math>\psi_1(z)</math> |
| <math>\psi_2(z)</math> | <math>\psi_3(z)</math> | <math>\psi_4(z)</math> |
Die Polygammafunktionen werden mit dem kleinen griechischen Buchstaben Psi <math>\psi</math> gekennzeichnet. Bei der ersten Polygammafunktion wird der Index meist weggelassen oder als 0 festgelegt; sie wird als Digammafunktion <math>\psi(z)</math> bezeichnet. Die zweite Polygammafunktion, also die Trigammafunktion, hat das Symbol <math>\psi_1</math> (oder seltener <math>\psi^{(1)}</math>) und ist die zweite Ableitung von <math>\ln\Gamma(z)</math>. Allgemein wird die <math>n</math>-te Polygammafunktion oder Polygammafunktion der Ordnung <math>n</math> mit <math>\psi_n</math> oder <math>\psi^{(n)}</math> bezeichnet und als die <math>(n+1)</math>-te Ableitung von <math>\ln\Gamma(x)</math> definiert.
Definition und weitere Darstellungen
Es ist
- <math>\psi_m(z)=\frac{\mathrm d^{m+1}}{\mathrm dz^{m+1}}\ln\Gamma(z)=\frac{\mathrm d^m}{\mathrm dz^m}\,\psi(z)</math>
mit der Digammafunktion <math>\psi(z)</math>. Derartige Ableitungen werden auch als logarithmische Ableitungen von <math>\Gamma(\cdot)</math> bezeichnet.
Eine Integraldarstellung ist
- <math>\psi_m(z)= (-1)^{m+1}\int\limits_0^\infty \frac{t^m \mathrm e^{-zt}}{1-\mathrm e^{-t}}\,\mathrm dt</math>
für <math>\operatorname{Re} z > 0</math> und <math>m > 0.</math>
Eigenschaften
Differenzengleichungen
Die Polygammafunktionen haben die Differenzengleichungen
- <math>\psi_m(z+1)= \psi_m(z) + (-1)^m\; m!\; z^{-m-1}.</math>
Reflexionsformel
Eine weitere wichtige Beziehung lautet
- <math>(-1)^m \psi_m (1-z) - \psi_m (z) = \pi \frac{\mathrm d^m}{\mathrm d z^m} \cot{(\pi z)}.</math>
Multiplikationsformel
Die Multiplikationsformel ist für <math>m>0</math> gegeben durch
- <math>\sum_{k=0}^{n-1} \psi_{m}\left(\frac{z+k}{n}\right) = n^{m+1} \psi_{m}(z). </math>
Zum Fall <math>m=0,</math> also der Digammafunktion, siehe dort.
Reihendarstellungen
Eine Reihendarstellung der Polygammafunktion lautet
- <math>\psi_m(z) = (-1)^{m+1}\; m!\; \sum_{k=0}^\infty \frac1{(z+k)^{m+1}}</math>
wobei <math>m>0</math> und <math>z\not= -1,-2,-3,\ldots</math> eine beliebige komplexe Zahl außer den nicht-positiven ganzen Zahlen ist. Die Formel lässt sich einfacher unter Verwendung der hurwitzschen Zetafunktion <math>\zeta(x,y)</math> schreiben als
- <math>\psi_m(z) = (-1)^{m+1}\; m!\; \zeta (m+1,z).</math>
Die Verallgemeinerung der Polygammafunktionen auf beliebige, nicht-ganze Ordnungen <math>m</math> ist weiter unten angegeben.
Eine weitere Reihendarstellung ist
- <math>\psi_m(z) = -\gamma \delta_{m,0} \; - \; \frac{(-1)^m m!}{z^{m+1}} \; + \; \sum_{k=1}^{\infty} \left(\frac{1}{k} \delta_{m,0} \; - \; \frac{(-1)^m m!}{(z+k)^{m+1}}\right),</math>
wobei <math>\delta_{n,0}</math> das Kronecker-Delta bezeichnet, die aus der Zerlegung der Gammafunktion nach dem weierstraßschen Produktsatz folgt.
Die Taylor-Reihe um <math>z=1</math> ist gegeben durch
- <math>\psi_m(z+1)= \sum_{k=0}^\infty
(-1)^{m+k+1} (m+k)!\; \zeta (m+k+1)\; \frac {z^k}{k!},</math>
die für <math>|z|<1</math> konvergiert. <math>\zeta</math> bezeichnete dabei die riemannsche Zetafunktion.
Spezielle Werte
Die Werte der Polygammafunktionen für rationale Argumente lassen sich meist ausdrücken unter Verwendung von Konstanten und Funktionen wie <math>\pi</math>, Quadratwurzel, Clausen-Funktion <math>\mathrm{Cl}(x)</math>, riemannsche ζ-Funktion, catalansche Konstante <math>G</math> sowie dirichletsche β-Funktion; z. B.
- <math>\psi_m(\tfrac12)=(-1)^{m+1}m!\,(2^{m+1}-1)\zeta(m+1), \qquad m\in\N</math>
Allgemein gilt ferner:
- <math>\psi_m(1)=(-1)^{m+1}m!\,\zeta(m+1),\qquad m\in\N</math>.
Die m-te Ableitung des Tangens kann ebenfalls mit der Polygammafunktion ausgedrückt werden:
- <math>\frac{\mathrm{d}^m}{\mathrm{d}x^m}\tan x=\frac{\psi_m(\tfrac12+\tfrac{x}{\pi})-(-1)^m\,\psi_m(\tfrac12-\tfrac{x}{\pi})}{\pi^{m+1}}</math>.
Darüber hinaus haben sich spezielle Werte von Polygammafunktionen als universelle Konstanten immer wieder bei einer geschlossenen Grenzwert-Beschreibung von Reihen oder auch Integralen als nützlich erwiesen, zum Beispiel gilt
- <math> \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{(2n+1)^4} = \frac{1}{768}\left( \psi_3\left( \tfrac14 \right) - 8\pi^2 \right). </math>
Verallgemeinerte Polygammafunktion
Espinosa und Moll haben 2003 eine verallgemeinerte Polygammafunktion <math> \psi_s(z)</math> eingeführt, die nun sogar für alle komplexen Werte <math> s </math> definiert ist.<ref>O. Espinosa, V. H. Moll: A generalized polygamma function, (arXiv).</ref> Diese hat für <math> s \ne 0, 1, 2, \dotsc </math> die allgemeine Taylor-Entwicklung
- <math> \psi_s(1+z) = \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{\Gamma(-s-n)} \left(\zeta'(s+n+1) + \left(\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k} - \frac{1}{k-s-n-1} \right) \zeta(s+n+1)\right) \frac{z^n}{n!},</math>
gültig im Bereich <math> |z| < 1 </math>.<ref>O. Espinosa, V. H. Moll: A generalized polygamma function, (arXiv), S. 6–7.</ref> Diese Verallgemeinerung nutzt jedoch nicht fraktionale Infinitesimalrechnung. Ein solcher Ansatz wurde von Grossman gewählt.<ref>N. Grossman: Polygamma functions of arbitrary order. SIAM J. Math. Anal. 7, 1976, 366–372.</ref>
Die verallgemeinerte Polygammafunktion erfüllt für <math> s\in\Complex</math> und <math>z\in\Complex\setminus-\N_0</math> die Funktionalgleichung
- <math>\psi_s(z+1)=\psi_s(z)+\frac{\ln z-\psi(-s)-\gamma}{\Gamma(-s)}\,z^{-(s+1)},</math>
wobei <math>\gamma</math> die Euler-Mascheroni-Konstante bezeichnet. Wegen
- <math>\frac{\psi(-m)}{\Gamma(-n)}=(-1)^{n-1} n!</math>
für ganzzahlige <math>m,n\ge 0</math> ist die weiter oben angegebene Differenzengleichung für natürliche <math>n</math> eingeschlossen.
Unter Zuhilfenahme der Hurwitzschen <math>\zeta</math>-Funktion erhält man dann die Beziehung
- <math>\psi_s(z)=
\frac1{\Gamma(-s)}\left(\frac{\partial}{\partial s}+\psi(-s)+\gamma\right)\zeta(s+1,z) =\mathrm e^{-\gamma\,s}\frac{\partial}{\partial s}\left(\mathrm e^{\gamma\,s}\,\frac{\zeta(s+1,z)}{\Gamma(-s)}\right),</math> welche die Funktionalgleichung erfüllt.<ref name="espinosa">Oliver Espinosa and Victor H. Moll: A Generalized Polygamma Function auf arXiv.org e-Print archive 2003.</ref>
Als Konsequenz daraus lässt sich die Verdopplungsformel
- <math>\psi_s\left(\frac{z}{2}\right)+\psi_s\left(\frac{z+1}{2}\right)=
2^{s+1}\psi_s(z)+\frac{2^{s+1}\ln 2}{\Gamma(-s)}\zeta(s+1,z) </math> herleiten. Eine Verallgemeinerung davon lautet
- <math>\psi_s(z)=n^{-s-1}\sum\limits_{k=0}^{n-1}\psi_s\left(\frac{z+k}{n}\right)
-\frac{\ln n}{\Gamma(-s)}\zeta(s+1,z), </math> die ein Äquivalent zur Gaußschen Multiplikationsformel der Gammafunktion darstellt und die Multiplikationsformel als Spezialfall für <math> s\in\N</math> enthält.
Literatur
- Milton Abramowitz und Irene Stegun, Handbook of Mathematical Functions, (1964) Dover Publications, New York. ISBN 978-0-486-61272-0. Siehe §6.4
- Eric W. Weisstein: Polygamma Function auf MathWorld, in functions.wolfram.com, in references.worlfram.com.
Einzelnachweise
<references />