Polyzylinder

In der mehrdimensionalen Funktionentheorie ist der Polyzylinder<ref>Wolfgang Ebeling: Funktionentheorie, Differentialtopologie und Singularitäten, Vieweg-Verlag 2001, ISBN 978-3-528-03174-9, Seite 43</ref> oder Polykreis<ref>Joseph Wloka: Grundräume und verallgemeinerte Funktionen, Springer Lecture Notes in Mathematics 82 (1969), Seite 3.</ref> das kartesische Produkt von Kreisscheiben.

Bezeichnet man genauer mit <math>\Delta(z,r) = \{ w\in\mathbb{C} \mid |z-w|<r \}</math> eine offene Kreisscheibe in der komplexen Ebene, dann ist der Polyzylinder um den Punkt <math>z = (z_1,\dots,z_n) \in\mathbb{C}^n</math> mit dem Multiradius <math>r = (r_1,\dots,r_n)</math> gegeben als

<math>\Delta(z_1,\ldots, z_n; r_1,\ldots, r_n) := \Delta(z_1,r_1) \times \dots \times \Delta(z_n,r_n)</math>

oder äquivalent als

<math>\{ w=(w_1,\dots,w_n) \in \mathbb{C}^n \mid |z_k - w_k| < r_k,\, k = 1,\dots,n \}.</math>

Der abgeschlossene Polyzylinder wird dadurch definiert, dass man das <math><</math>-Zeichen durch <math>\le</math> ersetzt:

<math>\overline{\Delta}(z_1,\ldots, z_n; r_1,\ldots, r_n) := \{ w=(w_1,\dots,w_n) \in \mathbb{C}^n \mid |z_k - w_k| \le r_k,\, k = 1,\dots,n \}.</math>

Der Polyzylinder ist ebenso wie die euklidische Kugel <math display=inline>\{ w\in\mathbb{C}^n \mid \sum_{j=1}^n |w_j-z_j|^2 < r^2 \}</math> eine Verallgemeinerung der eindimensionalen Kreisscheibe. Für <math>n>1</math> sind diese beiden Mengen aber nicht biholomorph äquivalent. Diese Aussage wurde 1907 von Poincaré bewiesen, indem er zeigte, dass die Automorphismengruppen der beiden Mengen als Lie-Gruppen unterschiedliche Dimension haben.

Literatur

Steven G Krantz: Function Theory of Several Complex Variables, American Mathematical Society, 2002, ISBN 0-8218-2724-3
Walter Rudin: Function theory in polydiscs, Benjamin, New York 1969

Einzelnachweise