Hölder-Mittel

In der Mathematik ist das Hölder-Mittel, der Höldersche Mittelwert (nach Otto Hölder, 1859–1937) oder das Potenzmittel (engl. u. a. (p-th) power mean) ein (manchmal auch der) verallgemeinerter Mittelwert. Die Bezeichnung ist uneinheitlich, Bezeichnungen wie das <math>p</math>-te Mittel, Mittel der Ordnung oder vom Grad oder mit Exponent <math>p</math> sind auch im Umlauf. Im Englischen wird es auch als generalized mean bezeichnet.

Ebenso uneinheitlich sind die Schreibweisen, statt <math>H_p</math> wird auch <math>M_p(x)</math>, <math>m_p(x)</math> oder <math>\mu_p(x)</math> geschrieben.

Das Hölder-Mittel verallgemeinert die seit den Pythagoreern bekannten Mittelwerte wie das arithmetische, geometrische, quadratische und harmonische Mittel durch Einführung eines Parameters <math>p.</math>

Definition

Für eine reelle Zahl <math>p\neq 0</math> wird das Hölder-Mittel der Zahlen <math>x_1,\ldots,x_n\geq 0</math> zur Stufe <math>p</math> definiert als

<math>M_p(x_1,\dots,x_n) = \left( \frac{1}{n} \cdot \sum_{i=1}^n x_{i}^p \right)^{1/p} = \sqrt[p]{\frac{x_1^p+x_2^p+\ldots+x_n^p}n}</math>,

wobei die Wurzelschreibweise üblicherweise nur für natürliche Zahlen <math>p</math> verwendet wird.

Eine dazu passende Definition für <math>p = 0</math> ist

<math>M_0(x_1,\ldots,x_n):=\lim_{s\to 0}M_s(x_1,\ldots,x_n).</math>

Eigenschaften

Das Hölder-Mittel ist homogen bezüglich <math>x_1\ldots,x_n</math>, das heißt

<math>M_p(\alpha\, x_1,\ldots,\alpha\, x_n)=\alpha\cdot M_p(x_1,\ldots,x_n)</math>

Außerdem gilt

Eine wichtige Ungleichung zu den Hölder-Mitteln ist

Daraus folgt etwa (Spezialfälle) die Ungleichung der Mittelwerte

<math>\min(x_1,\ldots,x_n)\le\bar x_{\mathrm{harm}}\le\bar x_{\mathrm{geom}}\le\bar x_{\mathrm{arithm}}\le\bar x_{\mathrm{quadr}}\le\bar{x}_\mathrm{kubisch}\le\max(x_1,\ldots,x_n)</math>

Die Potenzmittelwerte stehen mit den Stichprobenmomenten <math>m_p</math> um Null recht einfach in Beziehung:

In der Stochastik wird die Konvergenz im p-ten Mittel über diese Potenzmittelwerte definiert.

Spezialfälle

Datei:MathematicalMeans.svg

Vier Mittelwerte zweier Werte a, b:
H = Harmonisches Mittel, G = Geometrisches Mittel,
A = Arithmetisches Mittel, Q = Quadratisches Mittel

Mittels Wahl eines geeigneten Parameters <math>p</math> ergeben sich die bekannten Mittelwerte:

	<math>\lim_{p\to-\infty}</math>	<math>M_p(x_1,\dots,x_n)</math>	<math>= \min \{x_1,\dots,x_n\}</math>	Minimum
<math>p=-1</math>		<math>M_{-1}(x_1,\dots,x_n)</math>	<math>=\frac{n}{\frac{1}{x_1}+\dots+\frac{1}{x_n}}</math>	Harmonisches Mittel
	<math>\lim_{p\to 0}</math>	<math>M_p(x_1,\dots,x_n)</math>	<math>=\sqrt[n]{x_1\cdot\dots\cdot x_n}</math>	Geometrisches Mittel
<math>p=1</math>		<math>M_1(x_1,\dots,x_n)</math>	<math>=\frac{x_1 + \dots + x_n}{n}</math>	Arithmetisches Mittel
<math>p=2</math>		<math>M_2(x_1,\dots,x_n)</math>	<math>=\sqrt{\frac{x_1^2 + \dots + x_n^2}{n}}</math>	Quadratisches Mittel
<math>p=3</math>		<math>M_3(x_1,\dots,x_n)</math>	<math>=\sqrt[3]{\frac{x_1^3 + \dots + x_n^3}{n}}</math>	Kubisches Mittel
	<math>\lim_{p\to\infty}</math>	<math>M_p(x_1,\dots,x_n)</math>	<math>=\max \{x_1,\dots,x_n\}</math>	Maximum

Weitere Verallgemeinerungen

Gewichtetes Hölder-Mittel

Auch zu dem Hölder-Mittel lässt sich ein gewichtetes Mittel definieren: Das gewichtete Hölder-Mittel lässt sich mit den Gewichten <math>\omega_1, \omega_2, \ldots, \omega_n</math> mit <math>\omega_1+\omega_2+\ldots+\omega_n=1</math> definieren als

<math>{M_\omega}^p=\left(\omega_1\cdot x_1^p+\omega_2\cdot x_2^p+\ldots+\omega_n\cdot x_n^p\right)^{1/p},</math>

wobei für das ungewichtete Hölder-Mittel <math>\omega_1=\omega_2=\ldots=\omega_n=\tfrac1n</math> verwendet wird.

f-Mittel

Vergleiche Quasi-arithmetisches Mittel

Das Hölder-Mittel lässt sich weiter verallgemeinern zu

<math> M_f(x_1,\dots,x_n) = f^{-1}

\left({\frac{1}{n}\cdot\sum_{i=1}^n{f(x_i)}}\right) </math>

bzw. gewichtet zu

<math> M_f(x_1,\dots,x_n) = f^{-1}

\left({\sum_{i=1}^n{\omega_i f(x_i)}}\right) </math> Dabei ist <math>f</math> eine Funktion von <math>x</math>; das Hölder-Mittel verwendet <math>\, f(x)=x^p</math>.

Weitere Beispiele:

Sind <math>x_1,\ldots,x_n\geq 0</math> die Renditen einer Kapitalanlage in den Jahren <math>1</math> bis <math>n</math>, so erhält man die mittlere Rendite als <math>f</math>-Mittel der einzelnen Renditen zur Funktion <math>\, f(x)=\ln (1+x)</math>.
Sind <math>x_1,\ldots,x_n</math> die Alter von <math>n</math> Personen, so erhält man das versicherungstechnische Durchschnittsalter als <math>f</math>-Mittel der einzelnen Alter zur Funktion <math>\, f(x)=\mu_x</math>; dabei bedeutet <math>\,\mu_x</math> die Sterbeintensität. In der Praxis ist das summengewichtete versicherungstechnische Durchschnittsalter relevant, hier werden die Alter der versicherten Personen mit den jeweiligen Versicherungssummen gewichtet; die Sterbeintensität wird oft durch die einjährige Sterbewahrscheinlichkeit <math>\,q_x</math> ersetzt.

Siehe auch

Literatur

Julian Havil: Gamma: Eulers Konstante, Primzahlstrände und die Riemannsche Vermutung, Springer, Berlin 2007, ISBN 978-3-540-48495-0
P. S. Bullen: Handbook of Means and Their Inequalities. Dordrecht, Netherlands: Kluwer, 2003, S. 175–265

Weblinks

{{#if: | {{{author}}} | Eric W. Weisstein }}: Power mean. In: MathWorld (englisch). {{#if: | {{#ifeq: {{#property:P2812}} | {{{id}}} | | {{#if: {{#property:P2812}} | {{#ifeq: 0 | 0 | }} | {{#ifeq: 0 | 0 | }} }} }} }}
Weighted Power Mean und Proof auf planetmath.org (engl.)
Examples of Generalized Mean
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