Primideal

In der Ringtheorie ist ein Primideal eine Teilmenge eines Ringes, die sich ähnlich wie eine Primzahl als Element der ganzen Zahlen verhält.

Definitionen

Es sei <math>R</math> ein Ring. Dann heißt ein zweiseitiges Ideal <math>\mathfrak{p} \subseteq R</math> Primideal oder prim, falls <math>\mathfrak{p}</math> echt ist, also <math>\mathfrak{p} \neq R</math>, und wenn für alle Ideale <math>\mathfrak{a, b} \subseteq R</math> gilt:<ref>Louis H. Rowen: Ring Theory. Band 1. Academic Press Inc., Boston u. a. 1988, ISBN 0-125-99841-4 (Pure and Applied Mathematics 127), Definition 2.2.3'</ref>

Aus <math>\mathfrak{ab} \subseteq \mathfrak{p}</math> folgt <math>\mathfrak{a}\subseteq \mathfrak{p}</math> oder <math>\mathfrak{b}\subseteq \mathfrak{p}.</math>

Außerdem heißt <math>\mathfrak{p}</math> vollständiges Primideal oder vollprim, falls <math>\mathfrak{p}</math> echt ist und wenn für alle <math>a, b \in R</math> gilt:

Aus <math>ab \in \mathfrak{p}</math> folgt <math>a \in \mathfrak{p}</math> oder <math>b \in \mathfrak{p}.</math>

Äquivalente Definitionen

Ein zweiseitiges Ideal <math>\mathfrak{p}\subseteq R</math> ist genau dann prim, falls es echt ist und wenn für alle <math>a, b \in R</math> gilt:

Aus (für alle <math>r \in R</math> gilt <math>arb \in \mathfrak{p}</math>) folgt (<math>a \in \mathfrak{p}</math> oder <math>b \in \mathfrak{p}</math>).

Ein zweiseitiges Ideal <math>\mathfrak{p}\subseteq R</math> ist genau dann vollprim, falls es echt ist und wenn der Faktorring <math>R/\mathfrak{p}</math> nullteilerfrei ist.

Spektrum

Die Menge aller (echten) Primideale eines Rings <math>R</math> heißt Spektrum von <math>R</math> und wird mit <math>\mathrm{Spec} (R)</math> notiert.

Eigenschaften

Jedes vollprime Ideal ist prim, aber nicht umgekehrt. Zum Beispiel ist das Nullideal im Ring der reellen <math>2\times 2</math>-Matrizen prim, aber nicht vollprim.
In kommutativen Ringen sind prim und vollprim äquivalent.

In kommutativen Ringen <math>R</math> mit Einselement gilt:

Ein Element <math>p \in R\backslash\left\{0\right\}</math> ist genau dann ein Primelement, wenn das von <math>p</math> erzeugte Hauptideal <math>(p)</math> ein Primideal ist.<ref>K. Meyberg: Algebra, Teil 1, Carl Hanser Verlag München (1975), ISBN 3-446-11965-5, Satz 3.6.5</ref>
Ein Ideal <math>\mathfrak{p} \subset R</math> ist genau dann prim, wenn der Faktorring <math>R/\mathfrak{p}</math> ein Integritätsring ist.
Enthält ein Primideal einen Durchschnitt <math>\mathfrak{a}_1\cap\ldots\cap\mathfrak{a}_n</math> von endlich vielen Idealen von <math>R</math>, so enthält es auch eines der Ideale <math>\mathfrak{a}_i</math>.
Ein Ideal <math>\mathfrak{p} \subset R</math> ist genau dann ein Primideal, wenn die Komplementärmenge <math>S=R\setminus \mathfrak{p}</math> multiplikativ abgeschlossen ist. Das führt zum Begriff der Lokalisierung nach <math>\mathfrak{p}</math>, worunter man den Ring <math>S^{-1}R</math> versteht, den man auch als <math>R_\mathfrak{p}</math> schreibt.<ref>Ernst Kunz: Einführung in die kommutative Algebra und algebraische Geometrie, Vieweg (1980), ISBN 3-528-07246-6, Kapitel III, § 4, Beispiel d) hinter Satz 3.5</ref>

Beispiele

Die Menge <math>2\mathbb{Z}</math> der geraden ganzen Zahlen ist ein Primideal im Ring <math>\mathbb{Z}</math> der ganzen Zahlen, da ein Produkt zweier ganzer Zahlen nur dann gerade ist, wenn wenigstens ein Faktor gerade ist.
Die Menge <math>6\mathbb{Z}</math> der durch 6 teilbaren ganzen Zahlen ist kein Primideal in <math>\mathbb{Z}</math>, da 2·3 = 6 in der Teilmenge liegt, aber weder 2 noch 3.
Im Ring <math>R=2\Z</math> ist das maximale Ideal <math>\mathfrak{m}=4\Z</math> kein Primideal.
Ein maximales Ideal <math>\mathfrak{m}\subseteq R</math> eines Ringes <math>R</math> ist genau dann prim, wenn <math>RR \nsubseteq \mathfrak{m}</math>. Insbesondere ist <math>\mathfrak{m}</math> prim, falls <math>R</math> ein Einselement enthält.
Das Nullideal <math>(0)\subset R</math> in einem kommutativen Ring <math>R</math> mit Einselement ist genau dann ein Primideal, wenn <math>R</math> ein Integritätsbereich ist. In einem nicht-kommutativen Ring gilt diese Äquivalenz nicht.
Das Urbild eines Primideals unter einem Ringhomomorphismus kommutativer Ringe ist entweder der ganze Ring oder ein Primideal. Das gilt nicht allgemein, so ist etwa das Nullideal im Ring der <math>n \times n</math>-Matrizen über einem Körper prim, aber dessen Urbild unter der Inklusion des Rings der (oberen oder unteren) <math>n \times n</math>-Dreiecksmatrizen über dem Körper nicht.

Lying Over und Going Down

Im Folgenden sei stets <math> R </math> ein kommutativer Ring und <math> R \subset S </math> eine ganze Ringerweiterung. Dann existiert zu jedem Primideal <math> \mathfrak{p} \subset R </math> ein Primideal <math> \mathfrak{q} \subset S </math>, so dass <math> \mathfrak{q} </math> über <math> \mathfrak{p} </math> liegt, d. h.

<math> \mathfrak{p} = \mathfrak{q} \cap R </math>.

In diesem Fall sagt man auch, dass <math> S/R </math> die Lying Over Eigenschaft erfüllt. Ist zudem <math> f\colon R \hookrightarrow S </math> eine Einbettung von <math> R </math> in <math> S </math>, so ist die von <math> f </math> induzierte Abbildung <math> f^*\!\colon\, \mathrm{Spec}(S) \longrightarrow \mathrm{Spec}(R) </math> mit <math> \mathfrak{q} \longmapsto f^{-1}(\mathfrak{q}) </math> surjektiv.

Des Weiteren erfüllt <math> S/R </math> die Going Down Eigenschaft, falls folgendes gilt: Ist

<math> \mathfrak{p}_1 \supseteq \mathfrak{p}_2 \supseteq \cdots \supseteq \mathfrak{p}_n </math>

eine Kette von Primidealen in <math> R </math> und

<math> \mathfrak{q}_1 \supseteq \mathfrak{q}_2 \supseteq \cdots \supseteq \mathfrak{q}_m </math>

eine Kette von Primidealen in <math> S </math> mit <math> m < n </math>, so dass außerdem <math> \mathfrak{q}_i </math> über <math> \mathfrak{p}_i </math> liegt für alle <math> 1 \leq i \leq m </math>, so lässt sich letztere zu einer Kette

<math> \mathfrak{q}_1 \supseteq \mathfrak{q}_2 \supseteq \cdots \supseteq \mathfrak{q}_n </math>

ergänzen, so dass jedes <math> \mathfrak{q}_i </math> über <math> \mathfrak{p}_i </math> liegt. Diese ist unter anderem dann erfüllt, wenn <math> R, S </math> Integritätsringe sind und <math> R </math> ganzabgeschlossen ist.

Einzelnachweise