Pyramidenstumpf
Ein Pyramidenstumpf ist ein Begriff aus der Geometrie, der einen speziellen Typ von Polyedern (Vielflächnern) beschreibt. Ein Pyramidenstumpf entsteht dadurch, dass man von einer Pyramide (Ausgangspyramide) parallel zur Grundfläche an den Mantelflächen eine kleinere, ähnliche Pyramide (Ergänzungspyramide) abschneidet.
Die beiden parallelen Flächen eines Pyramidenstumpfes sind zueinander ähnlich. Die größere dieser beiden Flächen bezeichnet man als Grundfläche, die kleinere als Deckfläche. Den Abstand zwischen Grundfläche und Deckfläche nennt man die Höhe des Pyramidenstumpfes.
Das Volumen eines Pyramidenstumpfes kann mit Hilfe der folgenden Formel berechnet werden:
- <math>V = \frac{h}{3} \cdot \left(A_\text{1} + \sqrt{A_\text{1} \cdot A_\text{2}} + A_\text{2}\right)</math>
Dabei stehen <math>A_1</math> für den Flächeninhalt der Grundfläche, <math>A_2</math> für den Flächeninhalt der Deckfläche und <math>h</math> für die Höhe des Pyramidenstumpfes.
Für die aus Trapezen zusammengesetzte Mantelfläche gibt es keine einfache Formel. Je schiefer – bei gleichbleibender Höhe – die Pyramide, bzw. der Pyramidenstumpf ist, desto größer ist die jeweils zugehörige Mantelfläche.
Volumen
Herleitung mit Hilfe der zentrischen Streckung
Für die Berechnung des Volumens des Pyramidenstumpfes werden <math>h_1</math> als Höhe der Ausgangspyramide und <math>h_2</math> als Höhe der Ergänzungspyramide definiert, sodass <math>h_1 - h_2 = h</math> gilt. Aus der zentrischen Streckung folgt, dass
- <math>\frac{h_1}{h_2} = k</math> und daher auch <math>\frac{A_1}{A_2} = k^2</math>
Dabei ist <math>k</math> der Streckfaktor der zentrischen Streckung.
Das Volumen des Pyramidenstumpfes ergibt sich aus der Differenz zwischen dem Volumen der Ausgangspyramide und dem Volumen der Ergänzungspyramide:
- <math>V = V_1 - V_2 = \frac{A_1 \cdot h_1}{3} - \frac{A_2 \cdot h_2}{3}</math>.
Aus <math>\frac{h_1}{h_2} = k</math> und <math>\frac{A_1}{A_2} = k^2</math> folgt <math>\frac{h_1}{h_2} = \frac{\sqrt{A_1}}{\sqrt{A_2}}</math>.
Die Substitution <math>\lambda = \frac{h_1}{\sqrt{A_1}}</math> ergibt <math>h_1 = \lambda \cdot \sqrt{A_1}</math> und <math>h_2 = \lambda \cdot \sqrt{A_2}</math>.
Einsetzen in die Gleichung ergibt
- <math>V = \frac{A_1 \cdot \lambda \cdot \sqrt{A_1}}{3} - \frac{A_2 \cdot \lambda \cdot \sqrt{A_2}}{3} = \frac{\lambda \cdot ({A_1}^\frac{3}{2} - {A_2}^\frac{3}{2})}{3}</math>
Mit Hilfe der Formel <math> a^3 - b^3 = (a - b) \cdot (a^2 + a \cdot b + b^2)</math> angewendet auf <math>a = \sqrt{A_1}</math> und <math>b = \sqrt{A_2}</math> ist das Volumen
- <math>V = \frac{\lambda}{3} \cdot \left(\sqrt{A_1} - \sqrt{A_2} \right) \cdot \left(\sqrt{A_1}^2 + \sqrt{A_1} \cdot \sqrt{A_2} + \sqrt{A_2}^2\right) = \frac{\lambda}{3} \cdot \left(\sqrt{A_1} - \sqrt{A_2} \right) \cdot \left(A_1 + \sqrt{A_1 \cdot A_2} + A_2\right)</math>
Der Faktor <math>\lambda \cdot \left(\sqrt{A_1} - \sqrt{A_2} \right)</math> ist die Höhe <math>h</math>:
- <math>\lambda \cdot \left(\sqrt{A_1} - \sqrt{A_2} \right) = \lambda \cdot \sqrt{A_1} - \lambda \cdot \sqrt{A_2} = h_1 - h_2 = h</math>
Daraus ergibt sich
- <math>V = \frac{h}{3} \cdot \left(A_1 + \sqrt{A_1 \cdot A_2} + A_2\right)</math>
mit <math>\sqrt{A_1 \cdot A_2}</math> als geometrischem Mittel der Flächeninhalte von Grundfläche und Deckfläche.
Herleitung mit Hilfe der Integralrechnung
Die <math>y</math>-Achse sei so definiert, dass sie durch die Spitze der Ausgangspyramide und Ergänzungspyramide verläuft und orthogonal zur Grundfläche und zur Deckfläche ist. Dann ist die Höhe des Pyramidenstumpfes Teil der <math>y</math>-Achse. Bezeichnet man den Flächeninhalt der Schicht im Abstand <math>y</math> von der Spitze mit <math>A(y)</math>, dann ist <math>A</math> eine reelle Funktion mit der Variablen <math>y</math>. Aus den Eigenschaften der zentrischen Streckung kann man eine Formel für <math>A(y)</math> herleiten:
- <math>\frac{A(y)}{A_1} = \frac{y^2}{h_1^2}</math>
- <math>\frac{A(y)}{A_2} = \frac{y^2}{h_2^2}</math>
- <math>A(y) = \frac{A_1}{h_1^2} \cdot y^2 = \frac{A_2}{h_2^2} \cdot y^2</math>
Es gilt also <math>\frac{h_2^2}{h_1^2} = \frac{A_2}{A_1}</math> und <math>\frac{h_2}{h_1} = \frac{\sqrt{A_2}}{\sqrt{A_1}}</math>.
Daraus ergibt sich das Volumen des Pyramidenstumpfes als Integral der Funktion <math>A(y)</math> auf dem Intervall <math>[h_2,h_1]</math> nach dem Prinzip von Cavalieri:
- <math>\begin{align}
V &= \int_{h_2}^{h_1} A(y) \ \mathrm{d}y = \int_{h_2}^{h_1} \frac{A_1}{h_1^2} \cdot y^2 \ \mathrm{d}y = \frac{A_1}{h_1^2} \cdot \int_{h_2}^{h_1} y^2 \ \mathrm{d}y \\ &= \frac{A_1}{h_1^2} \cdot \left[\frac{1}{3} \cdot y^3\right]^{h_1}_{h_2} = \frac{A_1}{h_1^2} \cdot \left(\frac{1}{3} \cdot h_1^3 - \frac{1}{3} \cdot h_2^3\right) = \frac{1}{3} \cdot \frac{A_1}{h_1^2} \cdot (h_1^3 - h_2^3) = \frac{1}{3} \cdot \frac{A_1}{h_1^2} \cdot (h_1 - h_2) \cdot (h_1^2 + h_1 \cdot h_2 + h_2^2) \\ &= \frac{h}{3} \cdot \frac{A_1}{h_1^2} \cdot (h_1^2 + h_1 \cdot h_2 + h_2^2) = \frac{h}{3} \cdot \left(A_1 + A_1 \cdot \frac{h_2}{h_1} + A_1 \cdot \frac{h_2^2}{h_1^2}\right) = \frac{h}{3} \cdot \left(A_1 + \sqrt{A_1 \cdot A_2} + A_2\right) \end{align}</math>
Grenzfälle
Nähern sich Grund- und Deckfläche einem Kreis, erhält man einen Kegelstumpf, für den dieselbe allgemeine Volumenformel gilt. Geht die Höhe der Ausgangspyramide dagegen gegen unendlich, nähert sich der Flächeninhalt der Deckfläche <math>A_2</math> dem der Grundfläche <math>A_1</math> und man erhält ein Prisma, dessen Volumenformel sich damit wegen <math>A_1 = A_2</math> zu der Formel <math>V = h \cdot A_1</math> vereinfacht. Geht <math>A_2</math> schließlich gegen 0, erhält man ja nachdem, ob die Grundfläche ein n-Eck oder Kreis ist, eine komplette Pyramide oder einen Kegel mit der allgemeinen Volumenformel <math>V = \textstyle\frac{h}{3} \cdot A_1</math>.
Regelmäßiger Pyramidenstumpf
Ein regelmäßiger Pyramidenstumpf hat jeweils ein regelmäßiges Vieleck als Grundfläche und als Deckfläche. Die Mantelfläche besteht aus kongruenten gleichschenkligen Trapezen. Der Mittelpunkt der Deckfläche liegt senkrecht über dem Mittelpunkt der Grundfläche.
Formeln
Größen ohne Raumwinkel <math>\Omega</math> in den Ecken
| Größen eines regelmäßigen Pyramidenstumpfs (regelmäßiges n-Eck mit Seitenlänge a1 als Grundfläche, regelmäßiges n-Eck mit Seitenlänge a2 als Deckfläche und Höhe h) | ||
|---|---|---|
| Allgemeiner Fall | Quadratischer Pyramidenstumpf | |
| Volumen | <math>V = \frac{n \cdot (a_1^3 - a_2^3) \cdot h}{12 \cdot (a_1 - a_2)} \cdot \cot \left(\frac{\pi}{n}\right) = \frac{n \cdot (a_1^2 + a_1 \cdot a_2 + a_2^2) \cdot h}{12} \cdot \cot \left(\frac{\pi}{n}\right)</math> | <math>V = \frac{(a_1^3 - a_2^3) \cdot h}{3 \cdot (a_1 - a_2)} = \frac{(a_1^2 + a_1 \cdot a_2 + a_2^2) \cdot h}{3}</math> |
| Oberflächeninhalt | <math>A = \frac{n}{4} \cdot \left((a_1^2 + a_2^2) \cdot \cot \left(\frac{\pi}{n}\right) + (a_1 + a_2) \cdot \sqrt{4 \cdot h^2 + (a_1 - a_2)^2 \cdot \cot^2 \left(\frac{\pi}{n}\right)}\right)</math> | <math>A = a_1^2 + a_2^2 + (a_1 + a_2) \cdot \sqrt{4 \cdot h^2 + (a_1 - a_2)^2}</math> |
| Flächeninhalt der Grundfläche | <math>A_1 = \frac{n \cdot a_1^2}{4} \cdot \cot \left(\frac{\pi}{n}\right)</math> | <math>A_1 = a_1^2</math> |
| Flächeninhalt der Deckfläche | <math>A_2 = \frac{n \cdot a_2^2}{4} \cdot \cot \left(\frac{\pi}{n}\right)</math> | <math>A_2 = a_2^2</math> |
| Flächeninhalt der Mantelfläche | <math>M = \frac{n \cdot (a_1 + a_2)}{4} \cdot \sqrt{4 \cdot h^2 + (a_1 - a_2)^2 \cdot \cot^2 \left(\frac{\pi}{n}\right)}</math> | <math>M = (a_1 + a_2) \cdot \sqrt{4 \cdot h^2 + (a_1 - a_2)^2}</math> |
| Steilkantenlänge | <math>l = \left(h^2 + \frac{(a_1 - a_2)^2}{4 \cdot \sin^2 \left(\frac{\pi}{n}\right)}\right)^\frac{1}{2}</math> | <math>l = \sqrt{h^2 + \frac{(a_1 - a_2)^2}{2}}</math> |
| Umkugelradius | <math>r_u = \frac{1}{2 \cdot h} \cdot \left(h^4 + \frac{h^2 \cdot (a_1^2 + a_2^2)}{2 \cdot \sin^2 \left(\frac{\pi}{n}\right)} + \frac{\left(a_1^2 - a_2^2\right)^2}{16 \cdot \sin^4 \left(\frac{\pi}{n}\right)}\right)^\frac{1}{2}</math> | <math>r_u = \frac{1}{2 \cdot h} \cdot \left(h^4 + h^2 \cdot (a_1^2 + a_2^2) + \frac{\left(a_1^2 - a_2^2\right)^2}{4}\right)^\frac{1}{2}</math> |
| Innenwinkel der regelmäßigen Grundfläche | <math>\alpha = \frac{n - 2}{n} \cdot 180^\circ</math> | <math>\alpha = 90^\circ</math> |
| Basiswinkel der gleichschenkligen Trapeze | <math> \alpha_1 = \alpha_2 = \arctan \left(\frac{1}{a_1 - a_2} \cdot \sqrt{4 \cdot h^2 + (a_1 - a_2)^2 \cdot \cot^2 \left(\frac{\pi}{n}\right)}\right)</math> | <math> \alpha_1 = \alpha_2 = \arctan \left(\frac{1}{a_1 - a_2} \cdot \sqrt{4 \cdot h^2 + (a_1 - a_2)^2}\right)</math> |
| Winkel zwischen Grundfläche und gleichschenkligen Trapezen | <math> \beta_1 = \arctan \left(\frac{2 \cdot h \cdot \tan \left(\frac{\pi}{n}\right)}{a_1 - a_2} \right)</math> | <math> \beta_1 = \arctan \left(\frac{2 \cdot h}{a_1 - a_2} \right)</math> |
| Diederwinkel zwischen den gleichschenkligen Trapezen | <math> \beta_2 = 2 \cdot \arctan \left(\frac{1}{2 \cdot h} \cdot \left(\frac{4 \cdot h^2 \cdot \sin^2 \left(\frac{\pi}{n}\right) + (a_1 - a_2)^2}{\tan^2 \left(\frac{\pi}{n}\right) - \sin^2 \left(\frac{\pi}{n}\right)}\right)^\frac{1}{2}\right)</math> | <math> \beta_2 = 2 \cdot \arctan \left(\frac{1}{2 \cdot h} \cdot \sqrt{4 \cdot h^2 + 2 \cdot (a_1 - a_2)^2}\right)</math> |
| Winkel zwischen Kante und Grundfläche | <math> \gamma = \arctan \left(\frac{2 \cdot h \cdot \sin \left(\frac{\pi}{n}\right)}{a_1 - a_2} \right)</math> | <math> \gamma = \arctan \left(\frac{2 \cdot h}{\sqrt{2}\cdot\left(a_1 - a_2 \right)}\right)</math> |
| Raumwinkel in den Ecken der Grundfläche | <math>\Omega_1 = 4 \cdot \arctan\left(\sqrt{\tan\left(\frac{2 \cdot \alpha_1 + \alpha}{4}\right) \cdot \tan\left(\frac{2 \cdot \alpha_1 - \alpha}{4}\right) \cdot \tan^2\left( \frac{\alpha}{4}\right)}\right)</math> | |
| Raumwinkel in den Ecken der Deckfläche | <math>\Omega_2 = 4 \cdot \arctan\left(\sqrt{\tan\left(\frac{2 \cdot (\pi - \alpha_1) + \alpha}{4}\right) \cdot \tan\left(\frac{2 \cdot (\pi - \alpha_1) - \alpha}{4}\right) \cdot \tan^2\left( \frac{\alpha}{4}\right)}\right)</math> | |
Siehe auch
Literatur
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Weblinks
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