Quotientennorm

Eine Quotientennorm oder Quotientenhalbnorm ist in der Funktionalanalysis eine auf natürliche Weise erzeugte Norm bzw. Halbnorm auf einem Faktorraum.

Definition

Es seien <math>X</math> ein normierter Raum und <math>U\subset X</math> ein Untervektorraum. Auf dem Faktorraum <math>X/U</math> definiere man

<math>\|x+U\| := \inf\{\|x-y\|;\,y\in U\} = \mathrm{dist}(x,U)</math>.

Dann ist durch diese Definition eine Halbnorm auf dem Faktorraum gegeben; sie ist genau dann eine Norm, wenn der Unterraum abgeschlossen ist, man nennt sie die Quotientennorm bzw. Quotientenhalbnorm.

Quotient nach einem Kern

Ist <math>U\subset X</math> ein abgeschlossener Unterraum des normierten Raumes <math>X</math>, so ist die Quotientenabbildung <math>T:X\rightarrow X/U</math> linear, stetig, bildet die offene Einheitskugel von <math>X</math> auf die offene Einheitskugel von <math>X/U</math> ab und es ist <math>U=\mathrm{ker}(T)</math>. Die Operatornorm der Quotientabbildung ist <math>1</math>, falls <math>U</math> ein echter Unterraum ist, anderenfalls gleich <math>0</math>.

Seien umgekehrt <math>X,Y</math> normierte Räume und <math>T : X \rightarrow Y</math> eine lineare Abbildung, die die offene Einheitskugel von <math>X</math> auf die offene Einheitskugel von <math>Y</math> abbildet. Dann ist <math>T</math> stetig, surjektiv und die Isomorphie <math>X/\mathrm{ker}(T) \cong Y</math> ist eine Isometrie.

Eigenschaften

Viele Eigenschaften vererben sich auf die Quotientennorm:

Ist <math>X</math> ein Banachraum und <math>U\subset X</math> ein abgeschlossener Unterraum, so ist auch <math>X/U</math> ein Banachraum, d. h. die Vollständigkeit vererbt sich auf die Quotientennorm.
Ist <math>X</math> ein Hilbertraum und <math>U\subset X</math> ein abgeschlossener Unterraum, so ist auch <math>X/U</math> ein Hilbertraum, d. h. auch die Quotientennorm wird durch ein Skalarprodukt erzeugt.
Ist <math>X</math> ein gleichmäßig konvexer Raum und <math>U\subset X</math> ein abgeschlossener Unterraum, so ist auch <math>X/U</math> gleichmäßig konvex.
Ist <math>X</math> eine Banachalgebra und <math>U\subset X</math> ein abgeschlossenes zweiseitiges Ideal, so ist auch <math>X/U</math> eine Banachalgebra, d. h. die Submultiplikativität der Norm überträgt sich auf die Quotientennorm.
Ist <math>X</math> eine C^*-Algebra und <math>U\subset X</math> ein abgeschlossenes zweiseitiges Ideal, so ist auch <math>X/U</math> eine C^*-Algebra, d. h. die C^*-Eigenschaft der Norm gilt auch für die Quotientennorm.

Quotientenhalbnormen

Die Topologie eines lokalkonvexen Raumes <math>X</math> wird durch eine Menge <math>\mathcal P</math> von Halbnormen erzeugt. Sei <math>U\subset X</math> ein Unterraum. Für jedes <math>p\in \mathcal P</math> ist die Quotientenhalbnorm <math>\hat{p}</math> eine Halbnorm auf dem Quotientenraum <math>X/U</math>, wobei

<math>\hat{p}(x+U) := \inf\{p(x+y);\,y\in U\}</math>.

Dann stimmt die Finaltopologie auf <math>X/U</math> mit der durch die Halbnormen <math>\{\hat{p};p\in {\mathcal P}\}</math> erzeugten Topologie überein, insbesondere ist der Quotientenraum wieder lokalkonvex.

Quelle

Dirk Werner: Funktionalanalysis. 6., korrigierte Auflage, Springer-Verlag, Berlin 2007, ISBN 978-3-540-72533-6, Seite 54