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Radon-Transformation

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Die Radon-Transformation ist eine Integraltransformation einer Funktion in zwei Variablen. Es wird das Linienintegral der Funktion <math>f(x,y)</math> längs aller Geraden der <math>x</math>-<math>y</math>-Ebene bestimmt. Für jede dieser Geraden kann man sich die Radon-Transformierte <math>Rf</math> als eine Projektion der Funktion <math>f(x,y)</math> auf eine dazu senkrechte Gerade vorstellen. Die Radon-Transformation ist mit der Fourier-Transformation verwandt und stellt in zwei Dimensionen eine Verallgemeinerung der Abel-Transformation und einen Spezialfall der Hough-Transformation dar. Die auf komplexe Zahlen erweiterte Variante wird als Penrose-Transformation bezeichnet.

Die Radon-Transformation ist nach dem österreichischen Mathematiker Johann Radon benannt. Er führte sie 1917 in der Veröffentlichung Über die Bestimmung von Funktionen durch ihre Integralwerte längs gewisser Mannigfaltigkeiten ein.<ref>{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref> Eine wichtige praktische Anwendung dieser Transformation, genauer der Rücktransformation, liegt in der Computertomographie zur Bildgewinnung.

Definition

Sei <math>f\colon\mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}</math> stetig und außerhalb eines Kreises von endlichem Radius identisch Null und sei <math>\gamma</math> eine Gerade, die durch den Winkel <math>\alpha</math> zur x-Achse und ihren Abstand <math>r</math> zum Ursprung definiert ist. Dann ist die Radon-Transformation gegeben durch das Linienintegral von <math>f(x,y)</math> entlang <math>\gamma</math>.

<math>R\left\lbrace f(\gamma) \right\rbrace = \int_\gamma f(x,y)\,\mathrm{d}s </math>

Die Gerade <math>\gamma</math> lässt sich parametrisieren als <math>(x(t),y(t)) = (r \cos \alpha + t \sin \alpha, r \sin \alpha - t \cos \alpha)</math>. Damit lässt sich das Linienintegral auch schreiben als

<math>R\left\lbrace f(x, y) \right\rbrace(r,\alpha)

= \int_{-\infty}^{\infty} f(r \cos \alpha + t \sin \alpha, r \sin \alpha - t \cos \alpha)\, \mathrm{d}t.</math>

Rücktransformation

Die Rücktransformation kann mit Hilfe der gefilterten Rückprojektion oder über den Umweg der Fourier-Transformation unter Berücksichtigung des Zentralschnitt-Theorems erfolgen.

Das Problem der Rücktransformation ist ein schlecht gestelltes Problem,<ref>A. K. Louis: Inverse und schlecht gestellte Probleme. Teubner, 1989 (Kap. 6.1 und 6.2)</ref> weil die Lösung keine stetige Funktion der Eingangsdaten ist. Um das Problem dennoch hinreichend genau zu lösen, können Regularisierungstechniken oder iterative Verfahren angewandt werden.

Zusammenhang mit Fourier-Transformation

Definitionen

Die Radon-Transformation steht in enger Beziehung zur Fourier-Transformation. Mit der Radon-Transformation kann man eine Beziehung zwischen der eindimensionalen und der zweidimensionalen (bzw. mehrdimensionalen) Fourier-Transformation herstellen.

Um das zu sehen, sei <math display="inline">\mathcal F_{u_1 \rightarrow z}^{(1)}\left\lbrace g(u_1, u_2) \right\rbrace</math> definiert als die eindimensionale Fourier-Transformation über dem ersten Parameter (<math display="inline">u_1</math>) einer Funktion <math display="inline">g: \mathbb R^2 \rightarrow \mathbb R</math>.<math display="block">\hat{g}(z, u_2) = \mathcal F_{u_1 \rightarrow z}^{(1)}\left\lbrace g(u_1, u_2) \right\rbrace = \int_{-\infty}^\infty g(u_1, u_2) \mathrm{e}^{-\imath 2 \pi z u_1} \mathrm{d}u_1</math>Analog sei <math display="inline">\mathcal F_{u_1 \rightarrow z_1, u_2 \rightarrow z_2}^{(2)}\left\lbrace g(u_1, u_2) \right\rbrace</math> die zweidimensionale Fourier-Transformation über beide Parameter (<math display="inline">u_1</math> und <math display="inline">u_2</math>).<math display="block">\hat \hat{g}(f_1, f_2) = \mathcal F_{u_1 \rightarrow z_1, u_2 \rightarrow z_2}^{(2)}\left\lbrace g(u_1, u_2) \right\rbrace = \mathcal F_{u_1 \rightarrow z_1}^{(1)}\left\lbrace \mathcal F_{u_2 \rightarrow z_2}^{(1)}\left\lbrace 

 g(u_1, u_2) \right\rbrace \right\rbrace

= \int_{-\infty}^\infty \int_{-\infty}^\infty g(u_1, u_2) \mathrm{e}^{-\imath 2 \pi (z_1 u_1 + z_2 u_2)} \mathrm{d}u_1 \mathrm{d}u_2</math>

Zusammenhang

In den folgenden Ausführungen wird für eine bessere Lesbarkeit <math display="inline">R\left\lbrace f(x, y) \right\rbrace(r,\alpha)</math> durch <math display="inline">R\left\lbrace f \right\rbrace(r,\alpha)</math> abgekürzt.

Zunächst betrachtet man die eindimensionale Fourier-Transformierte <math display="inline">\mathcal F_{r \rightarrow \sigma}^{(1)}\left\lbrace R\left\lbrace f \right\rbrace(r, \alpha) \right\rbrace(\sigma, \alpha)</math> der Radon-Transformation <math display="inline">R\left\lbrace f \right\rbrace(r, \alpha)


</math> einer Funktion <math display="inline">f(x, y)

</math>. Die Fourier-Transformation wird hier über den Parameter <math display="inline">r

</math> der Radon-Transformierten berechnet.<math display="block">\begin{aligned} \mathcal F_{r \rightarrow \sigma}^{(1)}\left\lbrace R\left\lbrace f \right\rbrace(r,\alpha) \right\rbrace(\sigma, \alpha) &= \int_{-\infty}^\infty R\left\lbrace f \right\rbrace(r,\alpha) \mathrm{e}^{-\imath 2 \pi \sigma r}\, \mathrm{d}r \\ &= \int_{-\infty}^\infty \int_{-\infty}^{\infty} f(r \cos \alpha + t \sin \alpha, r \sin \alpha - t \cos \alpha) \mathrm{e}^{-\imath 2 \pi \sigma r}\, \mathrm{d}t\, \mathrm{d}r \end{aligned}</math>Im Folgenden wird zur besseren Lesbarkeit <math display="inline">\mathcal F_{r \rightarrow \sigma}^{(1)}\left\lbrace R\left\lbrace f \right\rbrace(r, \alpha) \right\rbrace(\sigma, \alpha)

</math> mit <math display="inline">\mathcal F_{r \rightarrow \sigma}^{(1)}\left\lbrace R\left\lbrace f \right\rbrace \right\rbrace(\sigma, \alpha)

</math> abgekürzt.

Als Nächstes betrachtet man die zweidimensionale Fourier-Transformation <math display="inline">\mathcal F_{x \rightarrow s_\mathrm{x}, y \rightarrow s_\mathrm{y}}^{(2)}\left\lbrace f(x, y) \right\rbrace(s_\mathrm x, s_\mathrm y)</math> von <math display="inline">f(x, y)</math> über die Parameter <math display="inline">x </math> und <math display="inline">y </math>.<math display="block">\mathcal F_{x \rightarrow s_\mathrm{x}, y \rightarrow s_\mathrm{y}}^{(2)}\left\lbrace f(x, y) \right\rbrace(s_\mathrm x, s_\mathrm y) = \int_{-\infty}^\infty \int_{-\infty}^\infty f(x, y) \mathrm{e}^{-\imath 2 \pi (s_\mathrm x x + s_\mathrm y y)} \mathrm{d}x \mathrm{d}y</math>

Im Folgenden wird zur besseren Lesbarkeit <math display="inline">\mathcal F_{x \rightarrow s_\mathrm{x}, y \rightarrow s_\mathrm{y}}^{(2)}\left\lbrace f(x, y) \right\rbrace(s_\mathrm x, s_\mathrm y)</math> durch <math display="inline">\mathcal F_{x \rightarrow s_\mathrm{x}, y \rightarrow s_\mathrm{y}}^{(2)}\left\lbrace f \right\rbrace(s_\mathrm x, s_\mathrm y)</math> abgekürzt.

Das Fourier-Schnitt-Theorem sagt nun, dass <math display="inline">\mathcal F_{x \rightarrow s_\mathrm{x}, y \rightarrow s_\mathrm{y}}^{(2)}\left\lbrace f \right\rbrace(s_\mathrm x, s_\mathrm y)</math> für <math display="inline">s_\mathrm x = \sigma \cos \alpha</math> und für <math display="inline">s_\mathrm y = \sigma \sin \alpha</math> gleich <math display="inline">\mathcal F_{r \rightarrow \sigma}^{(1)}\left\lbrace R\left\lbrace f \right\rbrace(r, \alpha) \right\rbrace(\sigma, \alpha)

</math> ist: ⁣<math display="block">\mathcal F_{r \rightarrow \sigma}^{(1)}\left\lbrace R\left\lbrace f \right\rbrace \right\rbrace(\sigma,\alpha) = \mathcal F_{x \rightarrow f_\mathrm{x}, y \rightarrow f_\mathrm{y}}^{(2)}\left\lbrace f \right\rbrace(\sigma \cos \alpha, \sigma \sin \alpha).</math>Das Theorem sagt also, dass man die Fourier-Transformation (über dem Parameters <math display="inline">r </math>) einer Radon-Transformation mittels einer zweidimensionalen Fourier-Transformation berechnen kann. Und umgekehrt betrachtet, kann man die zweidimensionale Fourier-Transformation durch eine Radon-Transformation gefolgt von einer eindimensionalen Fourier-Transformation berechnen.

Der "Haken" an der letztgenannten Aussagen ist allerdings, dass man die Fourier-Transformierte <math display="inline">\mathcal F_{x \rightarrow s_\mathrm{x}, y \rightarrow s_\mathrm{y}}^{(2)}\left\lbrace f \right\rbrace(s_\mathrm x, s_\mathrm y)</math> nicht in den Frequenz-Parametern <math display="inline">s_\mathrm x</math> und <math display="inline">s_\mathrm y</math> erhält, sondern in Polarkoordinaten <math display="inline">(\sigma, \alpha)</math>. Die Schar an Geraden <math display="inline">\ell_\alpha(\sigma) = (s_\mathrm x, s_\mathrm y) = (\sigma \cos \alpha, \sigma \sin \alpha)</math>, mit <math display="inline">\alpha \in [0, \pi)</math>, sind die "Schnitte" des Fourier-Schnitt-Theorems.

Anwendung der Radon-Transformation

In der Tomographie werden die Integrale einer Funktion über Geraden bestimmt und mittels inverser Radon-Projektion daraus Bilder berechnet. Beispielsweise wird in der Computertomographie mit Röntgenstrahlung die Absorption der Strahlung längs einer Geraden von der Röntgenquelle zu einem Detektor, also das Integral über die Absorption, bestimmt. Statt Röntgenstrahlen können auch andere Strahlen wie Gammastrahlung wie bei der Positronen-Emissions-Tomographie zur Anwendung kommen. Die Messung erfolgt in all diesen Varianten für sehr viele solche Geraden in einer Ebene, in welcher viele Detektoren und viele Positionen der Strahlenquelle um das zu durchleuchtende Objekt bewegt werden. Es wird dabei die Radon-Transformation der Strahlenabsorption bestimmt, wenngleich auch nur für endlich viele Werte der beiden Parameter. Aus diesen Werten lässt sich mit Hilfe der Rücktransformation das zweidimensionale Bild gewinnen. Das Aneinanderreihen mehrerer solcher zweidimensionaler „Schnittbilder“ ergibt ein dreidimensionales Bild.

Zur Bewertung der bildgebenden Algorithmen werden Testbilder eingesetzt, wie nachfolgend an dem Shepp-Logan-Testbild dargestellt. Das Shepp-Logan-Testbild stellt eine Grafik dar, wie sie in ähnlicher Form in der medizinischen Diagnostik vorkommt, eine vereinfachte Schnittdarstellung durch den menschlichen Kopf:

Weblinks

Einzelnachweise

<references />

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