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Kurve (Mathematik)

aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie
(Weitergeleitet von Raumkurve)

In der Mathematik ist eine Kurve (von {{#invoke:Vorlage:lang|full|CODE=la |SCRIPTING=Latn |SERVICE=lateinisch}} „gebogen, gekrümmt“) ein eindimensionales Objekt.<ref>{{#if:|{{#iferror: {{#iferror:{{#invoke:Vorlage:FormatDate|Execute}}|}}| |}}}}{{#if:Douglas Harper|Douglas Harper: }}{{#if:|{{#if:curve|[{{#invoke:Vorlage:Internetquelle|archivURL|1={{#invoke:URLutil|getNormalized|1={{{archiv-url}}}}}}} {{#invoke:Vorlage:Internetquelle|TitelFormat|titel=curve}}]{{#if:| ({{{format}}})}}{{#if:| {{{titelerg}}}{{#invoke:Vorlage:Internetquelle|Endpunkt|titel={{{titelerg}}}}}}}}}|{{#if:https://www.etymonline.com/de/word/curve%7C{{#if:{{#invoke:TemplUtl%7Cfaculty%7C}}%7C{{#invoke:Vorlage:Internetquelle%7CTitelFormat%7Ctitel={{#invoke:WLink%7CgetEscapedTitle%7C1=curve}}}}%7C[{{#invoke:URLutil|getNormalized|1=https://www.etymonline.com/de/word/curve}} {{#invoke:Vorlage:Internetquelle|TitelFormat|titel={{#invoke:WLink|getEscapedTitle|1=curve}}}}]}}{{#if:| ({{{format}}}{{#if:Online-Herkunftswörterbuch EtymonlineDouglas Harper{{#if: 2023-06-09 | {{#if:{{#invoke:TemplUtl|faculty|}}||1}}}} 

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Eindimensional bedeutet dabei informell, dass man sich auf der Kurve nur in eine Richtung (bzw. in die Gegenrichtung) bewegen kann. Ob die Kurve in der zweidimensionalen Ebene liegt (ebene Kurve), in einem höherdimensionalen Raum (siehe Raumkurve), oder gar in einer Mannigfaltigkeit (beispielsweise in einer Lorentzschen Mannigfaltigkeit) ist in diesem begrifflichen Zusammenhang unerheblich.

Je nach Teilgebiet der Mathematik gibt es unterschiedliche Präzisierungen dieser Beschreibung.

Parameterdarstellungen {{#invoke:Vorlage:Anker|f |errCat=Wikipedia:Vorlagenfehler/Vorlage:Anker |errHide=1}}

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Eine Kurve kann als das Bild (Wertebereich) eines Weges definiert werden.<ref>{{#if:|{{#iferror: {{#iferror:{{#invoke:Vorlage:FormatDate|Execute}}|}}| |}}}}{{#if:Guido Walz|Guido Walz: }}{{#if:|{{#if:Kurve|[{{#invoke:Vorlage:Internetquelle|archivURL|1={{#invoke:URLutil|getNormalized|1={{{archiv-url}}}}}}} {{#invoke:Vorlage:Internetquelle|TitelFormat|titel=Kurve}}]{{#if:| ({{{format}}})}}{{#if:| {{{titelerg}}}{{#invoke:Vorlage:Internetquelle|Endpunkt|titel={{{titelerg}}}}}}}}}|{{#if:https://www.spektrum.de/lexikon/mathematik/%7C{{#if:{{#invoke:TemplUtl%7Cfaculty%7C}}%7C{{#invoke:Vorlage:Internetquelle%7CTitelFormat%7Ctitel={{#invoke:WLink%7CgetEscapedTitle%7C1=Kurve}}}}%7C[{{#invoke:URLutil|getNormalized|1=https://www.spektrum.de/lexikon/mathematik/}} {{#invoke:Vorlage:Internetquelle|TitelFormat|titel={{#invoke:WLink|getEscapedTitle|1=Kurve}}}}]}}{{#if:| ({{{format}}}{{#if:Lexikon der Mathematik Band 3 Inp bis Mon (Umfassendes Nachschlagewerk mit ca. 17.000 Stichworteinträgen)Guido Walz{{#if: 2023-06-09 | {{#if:{{#invoke:TemplUtl|faculty|}}||1}}}} 

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Datei:Cubic with double point.svg
Kubische Kurve mit einem Doppelpunkt. t → (t2 − 1, t · (t2 − 1)) bzw. y2 = x2(x + 1)

Beispiele:

  • Die Abbildung
<math>{[0,2\pi]}\to\R^2,\quad t\mapsto(\cos t,\sin t)</math>
beschreibt den Einheitskreis in der Ebene.
  • Die Abbildung
<math>\R\to\R^2,\quad t\mapsto\big(t^2-1,t(t^2-1)\big)</math>
beschreibt eine Kurve mit einem einfachen Doppelpunkt bei <math>(0,0)</math>, entsprechend den Parameterwerten <math>t=1</math> und <math>t=-1</math>.

Gelegentlich, insbesondere bei historischen Bezeichnungen, wird zwischen Weg und Kurve nicht unterschieden. So ist die interessante Struktur bei der Hilbert-Kurve der Weg; das Bild dieses Weges ist das Einheitsquadrat, besitzt also keinerlei fraktale Struktur mehr.

Parametertransformation

{{#if: Parametertransformation|{{#ifexist:Parametertransformation|

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|}}|}}|}}|}}|}}|Einbindungsfehler: Die Vorlage Hauptartikel benötigt immer mindestens ein Argument.}}

Eine Parametertransformation <math>\phi</math> ist eine umkehrbar stetige Abbildung (Homöomorphismus), der zwei Wege (d. h. parametrisierte Kurven) <math>c, c'</math> ineinander überführt gemäß <math>c' = c \circ \phi</math>.<ref name="Goette2009"/>

Für zwei Parameterdarstellungen <math>c\colon I \to C, c'\colon J \to C </math> derselben Kurve <math>C</math> ist ein Parameterwechsel daher durch eine Parametertransformation <math>\phi\colon J \to I</math> gegeben, so dass <math>c' = c \circ \phi\;</math> – und damit umgekehrt auch <math>c = c' \circ</math> {{#if:trim|<math>\phi^{-1}</math>.}}

Statt Kurven mit den Bildern von Wegen zu identifizieren, könnte man sie auch (im Sinn der Kategorientheorie) äquivalent auch als die Äquivalenzklassen von Wegen mit gleichem Bild beschreiben, die durch Parametertransformationen (Homöomorphismen) ineinander übergeführt werden können. Diese Gleichwertigkeit macht man sich zunutze, um spezielle Klassen von Kurven zu definieren.

Gerichtete Kurven

Durch die Parameterdarstellung erhält die Kurve einen „Richtungssinn“ in der Richtung des wachsenden Parameters.<ref name="Neunzert2013"/><ref name="Wörle1994"/>

Eine „gerichtete“ (oder „orientierte“) Kurve ist eine Äquivalenzklasse von Wegen (parametrisierten Kurven), die sich durch streng (strikt) monotone steigende Parametertransformationen ineinander überführen lassen.<ref name="Goette2009"/>

In Anpassung des Sprachgebrauchs an den vorliegenden Verwendungszweck wird allgemein definiert:

{{#invoke:Vorlage:Anker|f |errCat=Wikipedia:Vorlagenfehler/Vorlage:Anker |errHide=1}}Die „Spur“ einer (parametrisierten, gerichteten oder allgemeinen) Kurve ist die eindeutige Menge der Bildpunkte (einer beliebigen Parameterdarstellung derselben).<ref name="Goette2009"/><ref group="A">Für Wege als parametrisierte Kurven ist das die Bildmenge, bei gerichteten Kurven wird die Orientierung „vergessen“, für Kurven im allgemeinen Sinn liefert die Spur die Kurve selbst (da es nichts zu „vergessen“ gibt).</ref>

Glatte Kurven

{{#if: Glatte Kurve|{{#ifexist:Glatte Kurve|

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|}}|}}|}}|}}|}}|Einbindungsfehler: Die Vorlage Hauptartikel benötigt immer mindestens ein Argument.}}

In diesem Fall verlangt man zusätzlich <math>k</math>-fache stetige Differenzierbarkeit (<math>k = 1, 2, \ldots, \infty</math>) für den Weg bzw. die Parameterdarstellungen einer (gerichteten) Kurve. Die entsprechenden Kurvenklassen werden mit <math>C^k</math> bezeichnet.<ref name="Goette2009"/>

Gleichungsdarstellungen

{{#if: Implizite Kurve|{{#ifexist:Implizite Kurve|

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|}}|}}|}}|}}|}}|Einbindungsfehler: Die Vorlage Hauptartikel benötigt immer mindestens ein Argument.}}

Eine Kurve kann auch durch eine oder mehrere Gleichungen in den Koordinaten beschrieben werden. Beispiele dafür sind wieder die Bilder der beiden durch die obigen Parameterdarstellungen gegebenen Kurven:

  • Die Gleichung
<math>x^2+y^2=1</math>
beschreibt den Einheitskreis in der Ebene.
  • Die Gleichung
<math>y^2=x^2(x+1)</math>
beschreibt die oben in Parameterdarstellung angegebene Kurve mit Doppelpunkt.

Ist die Gleichung wie hier durch ein Polynom gegeben, nennt man die Kurve algebraisch.

Funktionsgraphen

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|}}|}}|}}|}}|}}|Einbindungsfehler: Die Vorlage Hauptartikel benötigt immer mindestens ein Argument.}}

Funktionsgraphen sind ein Spezialfall beider oben angegebenen Formen: Der Graph einer Funktion

<math>f\colon D\to\R,\quad x\mapsto f(x)</math>

kann entweder als Parameterdarstellung

<math>D\to\R^2,\quad t\mapsto(t,f(t))</math>

oder als Gleichung

<math>\Gamma_f = \{(x,y)\in\R^2\mid y=f(x)\}</math>

angegeben werden.

Wird in der Schulmathematik von Kurvendiskussion gesprochen, so meint man üblicherweise nur diesen Spezialfall.

Differenzierbare Kurven, Krümmung

Sei <math>[a,b]\subset\R</math> ein Intervall und <math>c\colon [a,b]\to\R^n</math> eine reguläre Kurve, d. h. <math>|c'(x)|\ne 0</math> für alle <math>x\in(a,b)</math>. Die Länge der Kurve ist

<math>l=\int_a^b |c'(t)|\,dt</math>

Die Funktion

<math>x\mapsto\int_a^x |c'(t)|\,dt</math>

ist ein Diffeomorphismus <math>[a,b]\to[0,l]</math>, und die Verkettung von <math>c</math> mit dem inversen Diffeomorphismus liefert eine neue Kurve <math>\tilde c\colon [0,l]\to\R^n</math> mit <math>|{\tilde c}'(x)|=1</math> für alle <math>x\in(0,l)</math>. Man sagt: <math>\tilde c</math> ist nach der Bogenlänge parametrisiert.

Sei <math>[a,b]\subset\R</math> ein Intervall und <math>c\colon [a,b]\to\R^n</math> eine nach der Bogenlänge parametrisierte Kurve. Die Krümmung von <math>c</math> an der Stelle <math>s</math> ist definiert als <math>\kappa(s)=|c(s)|</math>. Für ebene Kurven kann man die Krümmung noch mit einem Vorzeichen versehen: Ist <math>J</math> die Drehung um 90°, dann ist <math>\kappa(s)</math> festgelegt durch <math>c(s)=\kappa(s)\cdot Jc'(s)</math>. Positive Krümmung entspricht Linkskurven, negative Rechtskurven.

Geschlossene Kurven

Eine ebene Kurve <math>c\colon [0,1]\to\R^2</math> heißt geschlossen, wenn <math>c(0)=c(1)</math>, und einfach geschlossen, wenn zusätzlich <math>c</math> auf <math>[0,1)</math> injektiv ist. Der Jordansche Kurvensatz besagt, dass eine einfach geschlossene Kurve die Ebene in einen beschränkten und einen unbeschränkten Teil zerlegt. Ist <math>c</math> eine geschlossene Kurve mit <math>c(t)\ne(0,0)</math> für alle <math>t\in[0,1]</math>, kann man der Kurve eine Umlaufzahl zuordnen, die angibt, wie oft die Kurve um den Nullpunkt herumläuft.

Glatten geschlossenen Kurven kann man eine weitere Zahl zuordnen, die Tangentenumlaufzahl, die für eine nach der Bogenläge parametrisierte Kurve <math>c\colon [0,l]\to\R^2</math> durch

<math>\frac{1}{2\pi}\int_0^l \kappa(t)\,dt</math>

gegeben ist. Der Umlaufsatz von Heinz Hopf besagt, dass eine einfache geschlossene Kurve Tangentenumlaufzahl <math>1</math> oder <math>-1</math> hat.

Sei allgemein <math>X</math> ein topologischer Raum. Statt von geschlossenen Wegen <math>c\colon [0,1]\to X</math> mit <math>c(0)=c(1)</math> spricht man auch von Schleifen mit Basispunkt <math>c(0)</math>. Weil der Quotientenraum <math>[0,1]/\{0,1\}</math> homöomorph zum Einheitskreis <math>S^1</math> ist, identifiziert man Schleifen mit stetigen Abbildungen <math>S^1\to X</math>. Zwei Schleifen <math>c_1,c_2</math> mit Basispunkt <math>x</math> heißen homotop, wenn man sie unter Beibehaltung des Basispunkts stetig ineinander deformieren kann, d. h. wenn es eine stetige Abbildung <math>H\colon [0,1]^2\to X</math> mit <math>H(s,0)=c_1(s)</math>, <math>H(s,1)=c_2(s)</math> für alle <math>s</math> und <math>H(0,t)=H(1,t)=x</math> für alle <math>t</math> gilt. Die Äquivalenzklassen homotoper Schleifen bilden eine Gruppe, die Fundamentalgruppe von <math>X</math>. Ist <math>X=\R^2-\{0\}</math>, dann ist die Fundamentalgruppe über die Windungszahl isomorph zu <math>\Z</math>.

Raumkurven

Sei <math>[a,b]\subset\R</math> ein Intervall und <math>c\colon [a,b]\to\R^3</math> eine nach der Bogenlänge parametrisierte Kurve. Die folgenden Bezeichnungen sind Standard:

<math>\begin{align} t(s) &= c'(s) \\ n(s) &= \frac{t'(s)}{|t'(s)|} \\ b(s) &= t(s) \times n(s) \end{align}</math>

(definiert, wann immer <math>t'(s)\ne 0</math>). <math>t(s)</math> ist der Tangentialvektor, <math>n(s)</math> der Normalenvektor und <math>b(s)</math> der Binormalenvektor, das Tripel <math>(t,n,b)</math> heißt begleitendes Dreibein. Die Krümmung ist <math>\kappa(s)=|t'(s)|=|c(s)|</math>, die Windung <math>\tau(s)</math> definiert durch <math>b'(s)=-\tau(s) n(s)</math>. Es gelten die frenetschen Formeln:

<math>\begin{matrix} t' & = & & \kappa n \\ n' & = & -\kappa t & + & \tau b \\ b' & = & & -\tau n \end{matrix}</math>

Der Hauptsatz der lokalen Kurventheorie besagt, dass man eine Kurve aus Krümmung und Windung rekonstruieren kann: Sind glatte Funktionen <math>\kappa,\tau\colon [0,l]\to\R</math> mit <math>\kappa(s)>0</math> für alle <math>s\in[0,l]</math> (der Wert 0 ist für <math>\kappa</math> also nicht erlaubt), so gibt es bis auf Bewegungen genau eine entsprechende Kurve.

Die von je zwei der drei Vektoren <math>t</math>, <math>n</math> oder <math>b</math> aufgespannten Ebenen durch den Kurvenpunkt tragen besondere Namen:<ref>W. Kühnel: Differentialgeometrie. Vieweg-Verlag, 1999, ISBN 978-3-8348-0411-2, Absatz 2.9.</ref>

  • Die Oskulations­ebene oder Schmiegeebene wird von <math>t</math> und <math>n</math> aufgespannt.
  • Die Normalebene wird von <math>n</math> und <math>b</math> aufgespannt.
  • Die rektifizierende Ebene oder Streckebene wird von <math>t</math> und <math>b</math> aufgespannt.

Kurven als eigenständige Objekte

Kurven ohne umgebenden Raum sind in der Differentialgeometrie relativ uninteressant, weil jede eindimensionale Mannigfaltigkeit diffeomorph zur reellen Geraden <math>\R</math> oder zur Einheitskreislinie <math>S^1</math> ist. Auch Eigenschaften wie die Krümmung einer Kurve sind intrinsisch nicht feststellbar.

In der algebraischen Geometrie und damit zusammenhängend in der komplexen Analysis versteht man unter „Kurven“ in der Regel eindimensionale komplexe Mannigfaltigkeiten, oft auch als Riemannsche Flächen bezeichnet. Diese Kurven sind eigenständige Studienobjekte, das prominenteste Beispiel sind die elliptischen Kurven. Siehe Kurve (algebraische Geometrie)

Historisches

Das erste Buch der Elemente (Στοιχεῖα) von Euklid begann mit der Definition {{ 

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Diese Definition lässt sich heute nicht mehr aufrechterhalten, denn es gibt zum Beispiel Peano-Kurven, d. h. stetige surjektive Abbildungen <math>f\colon\R\to \R^2</math>, die die gesamte Ebene ausfüllen.<ref>{{#if:|{{#iferror: {{#iferror:{{#invoke:Vorlage:FormatDate|Execute}}|}}| |}}}}{{#if:H. Herrlich, M. Husek, G. Preuss|H. Herrlich, M. Husek, G. Preuss: }}{{#if:|{{#if:Hausdorffs Studien über Kurven, Bögen und Peano-Kontinua|[{{#invoke:Vorlage:Internetquelle|archivURL|1={{#invoke:URLutil|getNormalized|1={{{archiv-url}}}}}}} {{#invoke:Vorlage:Internetquelle|TitelFormat|titel=Hausdorffs Studien über Kurven, Bögen und Peano-Kontinua}}]{{#if:| ({{{format}}})}}{{#if:| {{{titelerg}}}{{#invoke:Vorlage:Internetquelle|Endpunkt|titel={{{titelerg}}}}}}}}}|{{#if:https://link.springer.com/content/pdf/10.1007/978-3-540-76807-4_31.pdf%7C{{#if:{{#invoke:TemplUtl%7Cfaculty%7C}}%7C{{#invoke:Vorlage:Internetquelle%7CTitelFormat%7Ctitel={{#invoke:WLink%7CgetEscapedTitle%7C1=Hausdorffs Studien über Kurven, Bögen und Peano-Kontinua}}}}|[{{#invoke:URLutil|getNormalized|1=https://link.springer.com/content/pdf/10.1007/978-3-540-76807-4_31.pdf}} {{#invoke:Vorlage:Internetquelle|TitelFormat|titel={{#invoke:WLink|getEscapedTitle|1=Hausdorffs Studien über Kurven, Bögen und Peano-Kontinua}}}}]}}{{#if:| ({{{format}}}{{#if:Felix Hausdorff - Gesammelte Werke Band III : Mengenlehre (1927,1935) Deskripte Mengenlehre und Topologie / Band 3. Mengenlehre (1927, 1935), deskriptive Mengenlehre und TopologieUlrich Felgner, Felix Hausdorff, Horst Herrlich, Mirek Husek, Vladimir Kanovei, Peter Koepke, Gerhard Preuß, Walter Purkert, Erhard Scholz798–839{{#if: 2023-06-09 | {{#if:{{#invoke:TemplUtl|faculty|}}||1}}}} 

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             | {{{ref}}} }}

}} hat.

Literatur

  • Ethan D. Bloch: A First Course in Geometric Topology and Differential Geometry. Birkhäuser, Boston 1997.
  • Wilhelm Klingenberg: A Course in Differential Geometry. Springer, New York 1978.

Anmerkungen

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Weblinks

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Einzelnachweise

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