Regulärer lokaler Ring

Im mathematischen Teilgebiet der kommutativen Algebra versteht man unter einem regulären lokalen Ring einen noetherschen lokalen Ring, dessen maximales Ideal von <math>d</math> Elementen erzeugt werden kann, wenn <math>d</math> die Dimension des Ringes bezeichnet.<ref>Emmy Noether: Idealtheorie in Ringbereichen. In: Felix Klein et al. (Hrsg.): Mathematische Annalen. Band 83. Verlag von Julius Springer, Berlin 1921, S. 24 ff. </ref> Reguläre lokale Ringe beschreiben das Verhalten algebraisch-geometrischer Objekte in Punkten, in denen keine Singularitäten wie Spitzen oder Überkreuzungen vorliegen. Ein (nicht unbedingt lokaler) Ring heißt regulär, wenn alle seine Lokalisierungen reguläre lokale Ringe sind. Wie stets in der kommutativen Algebra sind alle betrachteten Ringe kommutativ und haben ein Einselement.

Definition

Es sei <math>A</math> ein <math>d</math>-dimensionaler noetherscher lokaler Ring mit maximalem Ideal <math>\mathfrak m</math> und Restklassenkörper <math>k</math>. Dann heißt <math>A</math> regulär, wenn eine der folgenden äquivalenten Bedingungen erfüllt ist:<ref>Gregor Kemper: A Course in Commutative Algebra. In: Sheldon Axler und Kenneth A. Ribet (Hrsg.): Graduate Texts in Mathematics. Nr. 256. Berlin/Heidelberg 2011, ISBN 978-3-642-03544-9, S. 181 ff. </ref>

<math>\mathfrak m</math> kann von <math>d</math> Elementen erzeugt werden.
<math>\dim_k\mathfrak m/\mathfrak m^2=d.</math>

Ein beliebiger noetherscher Ring <math>A</math> heißt regulär, wenn alle seine lokalen Ringe regulär sind.

Eigenschaften

Reguläre lokale Ringe sind faktoriell. Dies ist die Aussage des Auslander-Buchsbaum-Theorems.<ref>Maurice Auslander und David A. Buchsbaum: Unique Factorization in Local Regular Rings. In: Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America. Band 45, Nr. 5, 1. Mai 1959, S. 733 f. </ref>
Kriterium von Serre: Ein noetherscher lokaler Ring ist genau dann regulär, wenn seine globale Dimension endlich ist.
Aus dem Kriterium von Serre folgt: Lokalisierungen regulärer lokaler Ringe sind wieder regulär.

Beispiele

Artinsche lokale Ringe sind genau dann regulär, wenn sie Körper sind.
Reguläre lokale Integritätsringe der Dimension 1 sind gerade die diskreten Bewertungsringe.<ref>Gregor Kemper: A Course in Commutative Algebra. In: Sheldon Axler und Kenneth A. Ribet (Hrsg.): Graduate Texts in Mathematics. Nr. 256. Berlin/Heidelberg 2011, ISBN 978-3-642-03544-9, S. 197 ff. </ref>

Einzelnachweise