Residuum (Funktionentheorie)

In der Funktionentheorie ist das Residuum einer komplexwertigen Funktion ein Hilfsmittel zur Berechnung von komplexen Kurvenintegralen mit Hilfe des Residuensatzes.

Definition

Komplexe Gebiete

Sei <math>D\subseteq\mathbb{C}</math> ein Gebiet, <math>D_f</math> isoliert in <math>D</math> und <math>f\colon D\setminus D_f \to \mathbb{C}</math> holomorph. Dann existiert zu jedem Punkt <math>a\in D_f</math> eine punktierte Umgebung <math>U:=U_r(a)\setminus\{a\}\subset D</math>, die relativ kompakt in <math>D</math> liegt, mit <math>f|_U</math> holomorph.

In diesem Fall besitzt <math>f</math> auf <math>U</math> eine Laurententwicklung <math>\textstyle f|_U(z) =\sum\limits_{n=-\infty}^\infty c_n(z-a)^n</math>. Dann erhält man das Residuum von <math>f</math> in <math>a</math> als Koeffizienten der Laurent-Reihe

<math>\operatorname{Res}_a(f) := c_{-1}.</math>

Wenn <Math>a</math> ein Pol erster Ordnung ist, dann ist

<math>\operatorname{Res}_a(f)=\lim_{z\to a} (z-a)f(z).</math>

Wenn <Math>a</math> ein Pol n-ter Ordnung ist, dann ist

<math> \operatorname{Res}_a(f)= \frac{1}{(n-1)!} \lim_{z \to a} \frac{d^{n-1}}{dz^{n-1}} \left( (z-a)^n f(z) \right). </math>

Aus dem Residuensatz folgt, dass man das Residuum als

<math>\operatorname{Res}_a(f)=\frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\oint\limits_{\partial U} f(z) dz</math>

berechnen kann.

Riemannsche Zahlenkugel

Die obige Definition kann man auch auf die Riemannsche Zahlenkugel <math>\mathbb{P}_1 = \Complex \cup \{\infty\}</math> erweitern. Sei <math>D_f</math> wieder eine diskrete Menge in <math>\mathbb{P}_1</math> und <math>f \colon \mathbb{P}_1 \setminus D_f \to \mathbb{C}</math> eine holomorphe Funktion.

Dann ist für alle <math>a \in D_f</math> mit <math>a \neq \infty</math> das Residuum ebenfalls durch die obige Definition erklärt.

Für <math>a = \infty \in D_f</math> setzt man

<math> \operatorname{Res}_\infty(f)= -\operatorname{Res}_0\left(\frac{1}{z^2} f\left(\frac 1 z \right)\right).</math>

Wenn

<math> \lim_{|z| \to \infty} f(z) = 0,</math>

ist, dann kann man das Residuum im Unendlichen durch

<math> \operatorname{Res}_\infty(f)= -\lim_{|z| \to \infty} z \cdot f(z)</math>

berechnen. Wenn hingegen

<math> \lim_{|z| \to \infty} f(z) = c \neq 0,</math>

ist, dann errechnet sich das Residuum in Unendlich zu

<math> \operatorname{Res}_\infty(f)= \lim_{|z| \to \infty} z^2 \cdot f'(z).</math>

Eigenschaften und Anmerkungen

Sei <math>D \subset \Complex</math> ein Gebiet und <math>f \colon D \to \Complex</math> eine holomorphe Funktion in <math>a</math>. Dann kann der Cauchysche Integralsatz angewendet werden, woraus folgt, dass das Residuum von <math>f</math> in <math>a</math> null ist.
An der Integraldarstellung erkennt man, dass man auch vom Residuum der Differentialform <math>f(z)\mathrm{d}z</math> sprechen kann.
Es gilt der Residuensatz.
Für rationale Funktionen <math> f: \hat{\Complex} \to \hat{\Complex} </math> gilt die sogenannte Geschlossenheitsrelation: <math> \sum_{p(f)}\operatorname{Res}_p(f)=0</math>. Dabei ist <math> p(f) </math> die Menge aller Pole von <math> f </math> und <math>\hat{\Complex}= \mathbb{C}\cup\{ \infty\} </math> die Riemannsche Zahlenkugel.

Praktische Berechnung

Folgende Regeln können zur Berechnung von Residuen von komplexwertigen Funktionen <math>f,g</math> im Punkt <math>a\in\mathbb{C}</math> in der Praxis verwendet werden:

Das Residuum ist <math>\mathbb{C}</math>-linear, d. h. für <math>\lambda,\mu\in\mathbb{C}</math> gilt: <math>\operatorname{Res}_a \left( \lambda f + \mu g \right) = \lambda\operatorname{Res}_a f + \mu\operatorname{Res}_a g</math>
Hat <math>f</math> in <math>a</math> eine Polstelle 1. Ordnung, gilt: <math>\textstyle \operatorname{Res}_a f = \lim_{z\rightarrow a} (z-a)f(z)</math>
Hat <math>f</math> in <math>a</math> eine Polstelle 1. Ordnung und ist <math>g</math> in <math>a</math> holomorph, gilt: <math>\operatorname{Res}_a gf=g(a)\operatorname{Res}_a f</math>
Hat <math>f</math> in <math>a</math> eine Nullstelle 1. Ordnung, gilt: <math>\operatorname{Res}_a\tfrac{1}{f} = \tfrac{1}{f'(a)}</math>
Hat <math>f</math> in <math>a</math> eine Nullstelle 1. Ordnung und ist <math>g</math> in <math>a</math> holomorph, gilt: <math>\operatorname{Res}_a\tfrac{g}{f} = \tfrac{g(a)}{f'(a)}</math>
Hat <math>f</math> in <math>a</math> eine Polstelle <math>n</math>-ter Ordnung, gilt: <math>\textstyle \operatorname{Res}_a f = \tfrac{1}{\left(n-1\right)!}\lim_{z\rightarrow a}\frac{\partial^{n-1}}{\partial z^{n-1}}[(z-a)^nf(z)]</math>
Hat <math>f</math> in <math>a</math> eine Nullstelle <math>n</math>-ter Ordnung, gilt: <math>\operatorname{Res}_a\tfrac{f'}{f}=n</math>.
Hat <math>f</math> in <math>a</math> eine Nullstelle <math>n</math>-ter Ordnung und ist g in <math>a</math> holomorph, gilt: <math>\operatorname{Res}_a g\tfrac{f'}{f}=g(a)n</math>.
Hat <math>f</math> in <math>a</math> eine Polstelle <math>n</math>-ter Ordnung, gilt: <math>\operatorname{Res}_a\tfrac{f'}{f}=-n</math>.
Hat <math>f</math> in <math>a</math> eine Polstelle <math>n</math>-ter Ordnung und ist g in <math>a</math> holomorph, gilt: <math>\operatorname{Res}_a g\tfrac{f'}{f}=-g(a)n</math>.
Sei <math>f</math> in einem zur reellen Achse symmetrischen Gebiet <math>G</math>, d. h. <math>z\in G\Rightarrow \overline{z}\in G</math>, holomorph bis auf isolierte Singularitäten. Weiterhin gelte <math>f(G\cap \mathbb{R})\subset \mathbb{R}</math>. Dies ist nach dem schwarzschen Spiegelungsprinzip und dem Identitätssatz äquivalent zu <math>f(\overline{z})=\overline{f(z)}</math>. Es gilt sodann <math>\operatorname{Res}_{\overline{a}}f=\overline{\operatorname{Res}_a f}</math>.<ref>{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref>
Ist das Residuum am Punkt <math>\infty</math> zu berechnen, so gilt <math>\operatorname{Res}_\infty f = \operatorname{Res}_0\left(-\tfrac{1}{z^2}f(\tfrac{1}{z})\right)</math>. Denn mit <math>w=\tfrac{1}{z}</math> gilt <math>f(w)\mathrm{d}w=f(\tfrac{1}{z})\mathrm{d}\tfrac{1}{z}=-\tfrac{1}{z^2}f(\tfrac{1}{z})\mathrm{d}z</math>

Die Regeln über die logarithmische Ableitung <math>\tfrac{f'}{f}</math> sind in Verbindung mit dem Residuensatz auch von theoretischem Interesse.

Beispiele

Wie bereits erwähnt, ist <math>\operatorname{Res}_a f=0</math>, wenn <math>f</math> auf einer offenen Umgebung von <math>a</math> holomorph ist.
Ist <math>f(z)=\tfrac{1}{z}</math>, so hat <math>f</math> in <math>0</math> einen Pol 1. Ordnung, und es ist <math>\operatorname{Res}_0 f=1</math>.
<math>\operatorname{Res}_1\tfrac{z}{z^2-1}=\tfrac{1}{2}</math>, wie man sofort mit der Linearität und der Regel von der logarithmischen Ableitung sieht, denn <math>z\mapsto z^2-1</math> hat in <math>1</math> eine Nullstelle 1. Ordnung.
Die fortgesetzte Gammafunktion hat in <math>-n</math> für <math>n\in\mathbb{N}_0</math> Pole 1. Ordnung, und das Residuum dort ist <math>\operatorname{Res}_{-n}\Gamma=\tfrac{(-1)^n}{n!}</math>.

Algebraische Sichtweise

Es seien <math>K</math> ein Körper und <math>X</math> eine zusammenhängende reguläre eigentliche Kurve über <math>K</math>. Dann gibt es zu jedem abgeschlossenen Punkt <math>x\in X</math> eine kanonische Abbildung

<math>\operatorname{res}_x\colon\Omega_{K(X)/K}\to K,</math>

die jeder meromorphen Differentialform ihr Residuum in <math>x</math> zuordnet.

Ist <math>x</math> ein <math>K</math>-rationaler Punkt und <math>t</math> eine lokale Uniformisierende, so kann die Residuenabbildung wie folgt explizit angegeben werden: Ist <math>\omega</math> eine meromorphe Differentialform und <math>\omega=f\,\mathrm dt</math> eine lokale Darstellung, und ist

<math>f=\sum_{k=-N}^\infty a_kt^k</math>

die Laurentreihe von <math>f</math>, so gilt

<math>\operatorname{res}_x\omega=a_{-1}.</math>

Insbesondere stimmt das algebraische Residuum im Fall <math>K=\mathbb C</math> mit dem funktionentheoretischen überein.

Das Analogon des Residuensatzes ist richtig: Für jede meromorphe Differentialform <math>\omega</math> ist die Summe der Residuen null:

<math>\sum_{x\in X}\operatorname{res}_x\omega=0.</math>

Quellen

Eberhard Freitag, Rolf Busam: Funktionentheorie 1. 3. Auflage. Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 2000.
{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}{{#if:|Vorlage:EoM/id}}
John Tate, Residues of differentials on curves. Annales scientifiques de l'É.N.S. 4^e série, tome 1, n^o 1 (1968), S. 149–159. DJVU/PDF

Eine Konstruktion der algebraischen Residuenabbildung.

Einzelnachweise