Restklasse

Im mathematischen Teilgebiet der Zahlentheorie ist die Restklasse einer Zahl <math>a</math> modulo einer Zahl <math>m</math> die Menge aller Zahlen, die bei Division durch <math>m</math> denselben Rest lassen wie <math>a</math>.<ref name="Fischer">{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref>

Definition

Es sei <math>m</math> eine von 0 verschiedene ganze Zahl und <math>a</math> eine beliebige ganze Zahl. Die Restklasse von <math>a</math> modulo <math>m</math>, geschrieben

<math>a + m \mathbb{Z}</math>

oder kurz <math>\overline{a}\,</math><ref name="Fischer"/> oder <math>[a],</math> ist die Äquivalenzklasse von <math>a</math> bezüglich der Kongruenz modulo <math>m</math>, also die Menge der Ganzzahlen, die bei Division durch <math>m</math> den gleichen Rest wie <math>a</math> ergeben. Sie besteht somit aus allen ganzen Zahlen <math>b</math>, die sich aus <math>a</math> durch die Addition ganzzahliger Vielfacher von <math>m</math> ergeben:

<math>a + m \mathbb{Z} = \{ a+km \mid k\in\mathbb Z\} = \{ b \mid b \equiv a \; ({\rm mod} \; m) \}</math>.

Ein Element einer Restklasse bezeichnet man auch als Repräsentant der Restklasse. Häufig verwendet man die Standardrepräsentanten <math>0,1,2,\dots,|m|-1</math>.

Die Menge aller Restklassen modulo <math>m</math> schreibt man häufig als <math>\mathbb{Z} / m \mathbb{Z}</math> oder <math>\mathbb{Z}_m</math>. Sie hat <math>|m|</math> Elemente und die Struktur eines Ringes und wird deshalb Restklassenring genannt. Genau dann, wenn <math>|m|</math> eine Primzahl ist, ergibt sich sogar die Struktur eines endlichen Körpers.

Eine Restklasse modulo <math>m</math> heißt prime Restklasse, wenn ihre Elemente teilerfremd zu <math>m</math> sind. (Wenn dies für ein Element gilt, dann auch für alle anderen.) Die Menge der primen Restklassen ist die Gruppe der Einheiten <math>(\mathbb Z/m\mathbb Z)^\times</math> (oder <math>\mathbb{Z}_m^*</math>) im Restklassenring <math>\mathbb Z/m\mathbb Z</math>; sie wird prime Restklassengruppe genannt und umfasst die multiplikativ invertierbaren Restklassen.

Beispiele

Die Restklasse von 0 modulo 2 ist die Menge der geraden Zahlen.
Die Restklasse von 1 modulo 2 ist die Menge der ungeraden Zahlen.
Die Restklasse von 0 modulo <math>m</math> ist die Menge der Vielfachen von <math>m</math>.
Die Restklasse von 1 modulo 3 ist die Menge <math>\{\ldots,-8,-5,-2,1,4,7,10,\ldots\}.</math>

Verallgemeinerung

Ist <math>A</math> ein Ring und <math>I\subseteq A</math> ein Ideal, so heißen Mengen der Form

Restklassen modulo <math>I</math>. Ist <math>A</math> kommutativ, oder ist <math>I</math> ein zweiseitiges Ideal, so hat die Menge <math>A/I</math> der Restklassen modulo <math>I</math> eine natürliche Ringstruktur und heißt Restklassenring, Quotientenring oder Faktorring modulo <math>I</math>. <math>A/I</math> wird durch Elemente in <math>A</math> repräsentiert, wobei die Restklassen <math>a+I</math> und <math>b+I</math> in <math>A/I</math> übereinstimmen, falls <math>a-b \in I</math> gilt.

Literatur

Peter Bundschuh: Einführung in die Zahlentheorie. 5. Auflage. Springer, Berlin/Heidelberg 2002, ISBN 3-540-64630-2.

Weblinks

Christian Spannagel: Restklassen und algebraische Strukturen. Vorlesungsreihe, 2012.
Christian Spannagel: Kongruenzen und Restklassen. Vorlesungsreihe, 2012.

Einzelnachweise