Reziprokenregel

Die Reziprokenregel<ref>Harro Heuser: Lehrbuch der Analysis. Teil 1. 17. Auflage. Vieweg + Teubner, Wiesbaden 2009, ISBN 978-3-8348-0777-9, S. 271.</ref> oder Kehrwertregel<ref>{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref> dient zur Ableitung von Funktionen der Form <math display="inline">f(x)=\frac{1}{v(x)}</math>, wobei <math>v</math> eine differenzierbare Funktion ist. In Kurzschreibweise lautet sie

<math>\left(\frac{1}{v}\right)' = -\frac{v'}{v^2}\,.</math>

Die Reziprokenregel kann als Spezialfall der Quotientenregel mit der konstanten Funktion <math>u(x)=1</math> im Zähler aufgefasst werden.

Aussage

Ist die Funktion <math>v(x)</math> von einem Intervall <math>D</math> in die reellen oder komplexen Zahlen an der Stelle <math>x_0</math> mit <math>v(x_0)\neq 0</math> differenzierbar, so ist auch die Funktion <math>f</math> mit <math>f(x) = 1/v(x)</math> an der Stelle <math>x_0</math>differenzierbar und es gilt

Beispiel

Die Ableitung der Funktion

berechnet sich an allen Stellen <math>x</math> mit <math>\sin(x) \neq 0</math> nach der Reziprokenregel zu

<math>f'(x)=-\frac{\cos(x)}{\sin^{2}(x)}</math>.

Dabei wurde benutzt, dass die Kosinusfunktion die Ableitung der Sinusfunktion ist.

Beweis

Ist <math>v</math> an <math>x_0</math> differenzierbar, so ist <math>v</math> dort insbesondere stetig. Unter der Voraussetzung <math>v(x_0)\neq 0</math> gibt es deshalb eine Umgebung von <math>x_0</math>, in der überall <math>v(x) \neq 0</math> ist. In dieser Umgebung ist der Differenzenquotient

von <math display="inline">f(x)=1/v(x)</math> wohldefiniert. Bildet man den Hauptnenner der Brüche im Zähler und wendet grundlegende Bruchrechengesetze an, so erhält man für den Differenzenquotienten die Darstellung

<math>-\frac{v(x)-v(x_0)}{x-x_0}\cdot \frac{1}{v(x)v(x_0)}

</math>.

Beim Grenzübergang <math>x \to x_0</math> strebt der erste Faktor gegen <math>v'(x_0)</math> und der zweite Faktor gegen <math display="inline">1/v(x_0)^2</math>. Also ist

Einzelnachweise