Root-Raised-Cosine-Filter
Das Root-Raised-Cosine-Filter, abgekürzt RRC-Filter, ist ein in der digitalen Signalverarbeitung angewandtes elektronisches Filter, welches zur Formung von Signalimpulsen zur Übertragung über einen Kanal, wie beispielsweise einen Funkkanal, verwendet wird.
Allgemeines
Das Root-Raised-Cosine-Filter entspricht der Wurzel (engl. root) aus dem Raised-Cosine-Filter und dient dazu, die Charakteristik des Raised-Cosine auf Sender und Empfänger gleichmäßig zu verteilen. Es stellt dann ein so genanntes Matched Filter dar und maximiert im Empfänger das Signal-Rausch-Verhältnis. Eine Besonderheit ist, dass ein Root-Raised-Cosine-Filter für sich alleine Intersymbolinterferenz (ISI) aufweist, das heißt die einzelnen Sendeimpulse „fließen“ am Übertragungskanal zeitlich ineinander. Erst die Kombination der beiden RRC-Filter bei Sender und Empfänger ergeben zusammen über die gesamte Strecke im Idealfall eine ISI-freie Übertragungsstrecke, welche eine zeitliche Unterscheidung der einzelnen Impulse erlaubt. Die einzelnen RRC-Impulse stehen orthogonal zueinander.
Das Root-Raised-Cosine-Filter ist neben dem Gauß-Filter eines der am häufigsten eingesetzten Filter zur Impulsformung bei digitalen Übertragungssystemen.
Übertragungsfunktion
Der Betragsverlauf der Übertragungsfunktion Hrrc(jω) eines RRC-Filters ist gegeben durch:
- <math>|H_{\mathrm{RRC}}(j\omega)| = \sqrt{|H_{\mathrm{RC}}(j \omega)|}</math>
wobei Hrc(jω) die Übertragungsfunktion des Raised-Cosine-Filters darstellt.
Die Impulsantwort h(t) eines RRC-Filters ist durch den Roll-off-Faktor β, welcher die Bandbreite bestimmt, und die Dauer eines Sendesymbols Ts gekennzeichnet und besitzt folgende Form:
- <math>h(t) = \begin{cases}
\dfrac{1}{\sqrt{T_s}} \left( 1-\beta+4\dfrac{\beta}{\pi} \right),
& t = 0 \\
\dfrac{\beta}{\sqrt{2T_s}} \left[ \left(1+\dfrac{2}{\pi}\right)\sin\left(\dfrac{\pi}{4\beta}\right) + \left(1-\dfrac{2}{\pi}\right)\cos\left(\dfrac{\pi}{4\beta}\right) \right],
& t = \pm \dfrac{T_s}{4\beta} \\
\dfrac{1}{\sqrt{T_s}} \dfrac{\sin\left[\pi \dfrac{t}{T_s}\left(1-\beta\right)\right] + 4\beta\dfrac{t}{T_s}\cos\left[\pi\dfrac{t}{T_s}\left(1+\beta\right)\right]}{\pi \dfrac{t}{T_s}\left[1-\left(4\beta\dfrac{t}{T_s} \right)^2 \right]},
& \mbox{andernfalls}
\end{cases}</math>
Beispiel-Implementierung
Nachfolgend findet sich eine Beispiel-Implementierung des RRC-Filters in Python mit Hilfe von NumPy, wobei die dafür verwendete Formel aus<ref>{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref> entnommen wurde.<syntaxhighlight lang="python" line="1"> import numpy as np
def rrcosfilter(N, beta, Ts, Fs):
"""
Erzeugt ein Root-Raised-Cosine-Filter, welches symmetrisch zum Mittelpunkt
verläuft.
Parameter:
-----------
N : int
Anzahl der Filterpunkte.
beta : float
Roll-Off Faktor im Intervall [0, 1].
Ts : float
Die Symbolperiode (inverse der Symbolrate) in Sekunden.
Fs : float
Die Abtastrate in Hertz.
Rückgabe:
-----------
h_rcc : numpy.ndarray
Die Impulsantwort des Filters als NumPy-Array.
"""
T_delta = 1/float(Fs) sample_num = np.arange(N) h_rrc = np.zeros(N, dtype=float)
for x in sample_num:
t = (x-N//2)*T_delta
if t == 0.0:
scaling = 1/np.sqrt(Ts)
equation = 1-beta+(4*beta/np.pi)
h_rrc[x] = scaling * equation
elif beta != 0 and t == (Ts/(4*beta) or -Ts/(4*beta)):
scaling = beta/np.sqrt(2*Ts)
equation = (1+(2/np.pi))*np.sin(np.pi/(4*beta)) + (1-2/np.pi)*np.cos(np.pi/(4*beta))
h_rrc[x] = scaling * equation
else:
scaling = 1/np.sqrt(Ts)
numerator = np.sin(np.pi*(1-beta)*t/Ts) + (4*beta*t/Ts)*np.cos(np.pi*(1+beta)*t/Ts)
denominator = (np.pi*t/Ts)*(1-np.square(4*beta*t/Ts))
equation = numerator / denominator
h_rrc[x] = scaling * equation
return h_rrc
sample_rrc = rrcosfilter(N=189, beta=0.22, Ts=1e-5, Fs=100e6) </syntaxhighlight>
Literatur
- {{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}
- {{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}
Einzelnachweise
<references />