SL(2,R)
{{#if: behandelt die spezielle lineare Gruppe <math>\operatorname{SL}(2,\R)</math>, für die Lie-Algebra <math>\mathfrak{sl}(2,\R)</math> siehe sl(2,R).
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}} Die spezielle lineare Gruppe <math>\operatorname{SL}(2,\R)</math> oder <math>\operatorname{SL}_2(\R)</math> ist die Gruppe der reellen <math>2 \times 2</math>-Matrizen mit Determinante 1:
- <math>\mbox{SL}(2,\R) = \left\{ \left( \begin{matrix}
a & b \\ c & d \end{matrix} \right) : a,b,c,d\in\R \mbox{ und }ad-bc=1\right\}.</math>
Sie ist eine Lie-Gruppe mit vielfältigen Anwendungen in Geometrie, Topologie, Darstellungstheorie, harmonischer Analysis, Zahlentheorie, Modulformen und Physik.
Darstellungstheorie
Für jede natürliche Zahl <math>d</math> gibt es eine, bis auf Isomorphismus eindeutige, <math>(d+1)</math>-dimensionale irreduzible Darstellung der <math>\operatorname{SL}(2,\R)</math>. Eine explizite Realisierung dieser irreduziblen Darstellung ist wie folgt. Sei
- <math>V_d=\left\{f(x,y)=a_0x^d+a_1x^{d-1}y+a_2x^{d-2}y^2+\ldots+a_{d-1}xy^{d-1}+a_dy^d: a_0,\ldots,a_d\in\R\right\}</math>
der Vektorraum der homogenen Polynome vom Grad <math>d</math> in 2 Variablen. Dieser Vektorraum ist <math>(d+1)</math>-dimensional und <math>A\in \operatorname{SL}(2,\R)</math> wirkt durch
- <math>(Af)(x,y):=f(A^{-1}(x,y)).</math>
Die Veronese-Einbettung <math>\nu_d\colon \R P^1\to \R P^d</math> ist äquivariant bezüglich der irreduziblen Darstellung <math>\operatorname{SL}(2,\R)\to \operatorname{SL}(d+1,\R)</math>.
Die unendlich-dimensionalen Darstellungen der <math>\operatorname{SL}(2,\R)</math> werden durch die Langlands-Klassifikation beschrieben.
Lie-Algebra
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<math>\operatorname{SL}(2,\R)</math> ist eine Lie-Gruppe, ihre Lie-Algebra ist die Lie-Algebra der spurfreien <math>2\times 2</math>-Matrizen
- <math>\mathfrak{sl}(2,\R)=\left\{A\in \operatorname{Mat}(2,\R): \operatorname{Sp}(A)=0\right\}</math>.
Eine Vektorraum-Basis des 3-dimensionalen Vektorraumes <math>\mathfrak{sl}(2,\R)</math> ist zum Beispiel
- <math>H=\left(\begin{array}{cc}1&0\\
0&-1\end{array}\right),\ X= \left(\begin{array}{cc}0&1\\ 0&0\end{array}\right),\ Y=\left(\begin{array}{cc}0&0\\ 1&0\end{array}\right)</math> mit den Kommutator-Relationen
- <math>\left[H,X\right]=2X,\ \left[H,Y\right]=-2Y,\ \left[X,Y\right]=H</math>.
Diese Lie-Algebra ist einfach, sie hat zwei nicht-konjugierte Cartan-Unteralgebren: eine erzeugt von <math>H</math>, die andere von <math>X-Y</math>.
Die Killing-Form ist <math>B(V,W)=4\operatorname{Sp}(VW)</math>. Sie ist negativ definit auf dem von <math>X-Y</math> erzeugten Unterraum, positiv definit auf dem von <math>H</math> und <math>X+Y</math> erzeugten Unterraum.
Lineare Algebra
Matrizen aus <math>\operatorname{SL}(2,\R)</math> entsprechen invertierbaren linearen Abbildungen des Vektorraums <math>\R^2</math>. Die Matrix <math>\left( \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right)</math> wirkt durch
- <math>\left( \begin{matrix}
a & b \\ c & d \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix} ax+by \\ cx+dy \end{matrix} \right).</math> Matrizen aus <math>\operatorname{SL}(2,\R)</math> erhalten die Volumenform, aber im Allgemeinen nicht die euklidische Metrik des <math>\R^2</math>.
Klassifikation der 2×2-Matrizen
Die Eigenwerte einer Matrix <math>A \in \operatorname{SL}(2,\R)</math> sind Nullstellen des charakteristischen Polynoms
- <math>\lambda^2 - \mathrm{Sp}(A) \lambda + 1 = 0</math>
und lassen sich nach der Lösungsformel für quadratische Gleichungen berechnen als
- <math>\lambda = \frac{\mathrm{Sp}(A) \pm \sqrt{\mathrm{Sp}(A)^2 - 4}}{2}</math>.
Man klassifiziert die Matrizen dann entsprechend der folgenden Einteilung:
- Wenn <math>\vert \operatorname{Sp}(A) \vert < 2</math>, dann ist <math>A</math> eine elliptische Matrix.
- Wenn <math>\vert \operatorname{Sp}(A) \vert = 2</math>, dann ist <math>A</math> eine parabolische Matrix.
- Wenn <math>\vert \operatorname{Sp}(A) \vert > 2</math>, dann ist <math>A</math> eine hyperbolische Matrix.
Elliptische Elemente
Elliptische Elemente sind von der Form
- <math>A\left( \begin{matrix}
\cos\phi & \sin\phi \\ -\sin \phi & \cos \phi \end{matrix}\right)A^{-1}</math> mit <math>\phi\in\R/2\pi\Z</math> und <math>A\in \operatorname{SL}(2,\R)</math>.
Die Matrix <math>\left( \begin{matrix} \cos\phi & \sin\phi \\ -\sin \phi & \cos \phi \end{matrix}\right)</math> wirkt auf der euklidischen Ebene als Drehung mit Fixpunkt 0 und Drehwinkel <math>\phi</math>.
Parabolische Elemente
Parabolische Elemente sind von der Form
- <math>\pm A\left( \begin{matrix}
1 & n \\ 0 & 1 \end{matrix}\right)A^{-1}</math> mit <math>n\in\R</math> und <math>A\in \operatorname{SL}(2,\R)</math>.
Die Matrix <math>\left( \begin{matrix} 1 & \ n \\ 0 & 1 \end{matrix}\right)</math> wirkt auf der euklidischen Ebene als Scherung.
Hyperbolische Elemente
Hyperbolische Elemente sind von der Form
- <math> A\left( \begin{matrix}
a & 0 \\ 0 & \frac{1}{a} \end{matrix}\right)A^{-1}</math> mit <math>a\in\R\setminus\left\{0\right\}</math> und <math>A\in \operatorname{SL}(2,\R)</math>.
Die Matrix <math> \left( \begin{matrix} a & 0 \\ 0 & \frac{1}{a} \end{matrix}\right)</math> wirkt als Dehnstauchung, d. h., sie dehnt in Richtung eines Eigenvektors, staucht in Richtung des anderen Eigenvektors, erhält insgesamt aber den Flächeninhalt.
Hyperbolische Geometrie
Matrizen aus <math>\operatorname{SL}(2,\R)</math> wirken auf der oberen Halbebene
- <math>\mathbb{H} = \{x + iy \ | \ y > 0; \, x, y \in \R \}\subset \Complex</math>
durch
- <math>z \mapsto \frac{az+b}{cz+d}</math>.
Sie wirken als Isometrien der hyperbolischen Metrik.
Weil <math>\pm I_2</math> als Identitätsabbildung wirkt, faktorisiert diese Wirkung von <math>\operatorname{SL}(2,\R)</math> über
- <math>\operatorname{PSL}(2,\R) = \operatorname{SL}(2,\R) / \{\pm I_2\}</math>.
Projektive Geometrie und gebrochen-lineare Transformationen
Die projektive Gerade <math>\R P^1</math> ist die Menge aller Geraden durch den Nullpunkt im <math>\R^2</math>. Die Wirkung von <math>\operatorname{SL}(2,\R)</math> auf <math>\left(\R^2 \setminus \{0\}\right)</math> gibt eine wohl-definierte Wirkung von <math>\operatorname{PSL}(2,\R)</math> auf <math>\R P^1</math>.
Durch <math>[x:y]\rightarrow \frac{x}{y}</math> wird eine Bijektion zwischen <math>\R P^1</math> und <math>\R\cup\left\{\infty\right\}</math> definiert. Nach dieser Identifizierung von <math>\R P^1</math> und <math>\R\cup\left\{\infty\right\}</math> wirkt <math>\operatorname{PSL}(2,\R)</math> auf <math>\R\cup\left\{\infty\right\}</math> durch gebrochen-lineare Transformationen
- <math>\left( \begin{matrix}
a & b \\ c & d \end{matrix} \right) z = \frac{az+b}{cz+d}</math>.
Die Veronese-Einbettung <math>\R P^1\to \R P^n</math> ist äquivariant bzgl. der irreduziblen Darstellung <math>\operatorname{SL}(2,\R) \to \operatorname{SL}(n+1,\R)</math>.
<math>\R P^1=\R\cup\left\{\infty\right\}</math> ist auch der Rand im Unendlichen <math>\partial\mathbb{H}</math> der hyperbolischen Ebene <math>\mathbb{H}</math>. Die Wirkung von <math>PSL(2,\R)</math> auf der Kompaktifizierung <math>\mathbb{H}\cup\partial \mathbb{H}</math> der hyperbolischen Ebene durch gebrochen-lineare Transformationen ist stetig. Elliptische Elemente haben einen Fixpunkt in <math>\mathbb{H}</math>, parabolische Elemente haben einen Fixpunkt in <math>\partial\mathbb{H}</math>, hyperbolische Elemente haben zwei Fixpunkte in <math>\partial\mathbb{H}</math>.
Fuchssche Gruppen
Diskrete Untergruppen von <math>\operatorname{PSL}(2,\R)</math> bezeichnet man als Fuchssche Gruppen.
Die Limesmenge einer Fuchsschen Gruppe <math>\Gamma</math> ist der Durchschnitt von <math>\R P^1=\partial\mathbb{H}</math> mit dem Abschluss einer Bahn <math>\Gamma x</math>, wobei und die Definition der Limesmenge unabhängig vom gewählten Punkt <math>x\in\mathbb{H}</math> ist.
Eine Fuchssche Gruppe heißt Fuchssche Gruppe 1. Art, falls die Limesmenge ganz <math>\mathbb{P}^1(\R) = \R\cup\{\infty\}</math> ist. Andernfalls handelt es sich um eine Fuchssche Gruppe 2. Art.
Fuchssche Gruppen 1. Art sind die sogenannten Gitter in <math>\operatorname{PSL}(2,\R)</math>, d. h. diskrete Untergruppen <math>\Gamma</math>, für die es einen Fundamentalbereich endlichen Volumens in der hyperbolischen Ebene gibt.
Ein Beispiel eines Gitters in <math>\operatorname{SL}(2,\R)</math> ist die modulare Gruppe <math>\operatorname{SL}(2,\Z)</math>, die unter anderem in der Theorie der Modulformen eine zentrale Rolle mit vielen zahlentheoretischen Anwendungen spielt.
Wenn eine Fuchssche Gruppe <math>\Gamma\subset\operatorname{PSL}(2,\R)</math> keine Elemente der Ordnung 2 enthält, dann ist sie die Projektion einer diskreten Untergruppe von <math>\operatorname{SL}(2,\R)</math>. (Satz von Culler)
Topologie
Die Kreis-Gruppe <math>\operatorname{SO}(2)</math> ist eine maximal kompakte Untergruppe von <math>\operatorname{SL}(2,\R)</math>. Die Untergruppe <math>\operatorname{SO}(2)</math> ist ein Deformationsretrakt von <math>\operatorname{SL}(2,\R)</math>, insbesondere sind die beiden Räume homotopieäquivalent.
Die Fundamentalgruppe von <math>\operatorname{SL}(2,\R)</math> ist isomorph zu <math>\Z</math>, die höheren Homotopiegruppen sind trivial.
Die universelle Überlagerung <math>\widetilde{\operatorname{SL}(2,\R)}</math> von <math>\operatorname{SL}(2,\R)</math> ist ein Beispiel einer Lie-Gruppe, welche keine treue endlich-dimensionale Darstellung besitzt, also zu keiner Untergruppe einer allgemeinen linearen Gruppe <math>\operatorname{GL}(n,\R)</math> isomorph ist.
Der Quotient <math>\operatorname{PSL}(2,\R)=\operatorname{SL}(2,\R)/(\Z/2\Z)</math> ist diffeomorph zum Einheitstangentialbündel der hyperbolischen Ebene: <math>{\operatorname{PSL}(2,\R)}=T^1\mathbb{H}</math>.
Literatur
- Serge Lang: SL2(R) (= Graduate Texts in Mathematics. Bd. 105). Springer, New York NY u. a. 1985, ISBN 0-387-96198-4.
- William P. Thurston: Three-dimensional geometry and topology (= Princeton Mathematical Series. Bd. 35). Band 1. Edited by Silvio Levy. Princeton University Press, Princeton NJ, 1997, ISBN 0-691-08304-5.