Pisot-Zahl
Eine Pisot-Zahl oder Pisot–Vijayaraghavan-Zahl, benannt nach Charles Pisot (1910–1984) und Tirukkannapuram Vijayaraghavan (1902–1955), ist eine ganze algebraische Zahl <math>\alpha > 1</math>, für die gilt, dass ihre Konjugierten <math>\alpha_2</math>, …, <math>\alpha_d</math> ohne <math>\alpha</math> selbst (also die anderen Wurzeln des Minimalpolynoms von <math>\alpha</math>) sämtlich innerhalb des Einheitskreises liegen: <math>\rho = \max\{|\alpha_2|, \ldots, |\alpha_d|\} < 1</math>. Mit „=“ statt „<“, also <math>\max\{|\alpha_2|, \ldots, |\alpha_d|\} = 1</math>, erhält man die Definition einer Salem-Zahl, benannt nach Raphaël Salem. Traditionell wird die Menge der Pisot-Zahlen mit S und die Menge der Salem-Zahlen mit T bezeichnet.
Eigenschaften
Die Potenzen <math>\alpha^k</math> einer Pisot-Zahl <math>\alpha</math> liegen exponentiell nah an ganzen Zahlen:
- <math>\min\bigl\{|\alpha^k - z|\,\big|\,z\in\mathbb{Z}\bigr\} \le (d-1) \rho^k</math>
Adriano M. Garsia wies 1962 nach, dass die Menge der reellen Zahlen <math>|\varepsilon_n\,\alpha^n + \varepsilon_{n-1}\,\alpha^{n-1} + \ldots + \varepsilon_1\,\alpha + \varepsilon_0|</math> mit <math>n</math> = 0, 1, 2, … und <math>\varepsilon_0, \ldots, \varepsilon_n \in \{-1, 0, +1\}</math> diskret ist. Es ist ein ungelöstes Problem, ob diese Eigenschaft auch ein <math>\alpha > 1</math>, das keine Pisot-Zahl ist, haben kann.
Raphaël Salem zeigte 1944 mit fourieranalytischen Methoden, dass die Menge der Pisot-Zahlen eine abgeschlossene Teilmenge der reellen Zahlen ist.
Beispiele
Jede ganze Zahl größer als 1 ist eine Pisot-Zahl. Weitere Beispiele von Pisot-Zahlen sind die positiven Lösungen <math>\beta_n</math> der algebraischen Gleichungen
- <math>x^{n}-x^{n-1}-x^{n-2}-\dots-1 = 0,</math>
für <math>n</math> = 2, 3, …, eine Folge mit <math>\beta_n \to 2</math>. Insbesondere ist die Goldene Zahl
eine Pisot-Zahl. Sie ist zudem der kleinste Häufungspunkt in der Menge der Pisot-Zahlen (Dufresnoy und Pisot 1955). Die beiden kleinsten Pisot-Zahlen sind
die reelle Lösung von <math>x^3 - x - 1=0</math>, und
die positive reelle Lösung von <math>x^4 - x^3 - 1=0</math>.
Anwendungen
Anwendungen von Pisot-Zahlen finden sich in der geometrischen Maßtheorie, im Zusammenhang mit Bernoulli-Faltungen, in der Dimensionstheorie und der Graphentheorie bei der Konstruktion von Pisot-Graphen.
Literatur
- Charles Pisot: La répartition modulo 1 et les nombres algébriques. In: Annali della Scuola Normale Superiore di Pisa – Classe di Scienze, 7, 1938, S. 205–248 (Dissertation; französisch)
- T. Vijayaraghavan: On the fractional parts of the powers of a number (englisch)
- I. In: Journal of the London Mathematical Society, 15, 1940, S. 159–160
- II. In: Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, 37, 1941, S. 349–357
- III. In: Journal of the London Mathematical Society, 17, 1942, S. 137–138
- IV. In: Journal of the Indian Mathematical Society, 12, 1948, S. 33–39
- Raphaël Salem: A remarkable class of algebraic integers. Proof of a conjecture of Vijayaraghavan. In: Duke Mathematical Journal, 11, 1944, S. 103–107 (englisch)
- Jacques Dufresnoy, Charles Pisot: Étude de certaines fonctions méromorphes bornées sur le cercle unité. Application à un ensemble fermé d’entiers algébriques. In: Annales scientifiques de l’École Normale Supérieure, 72, 1955, S. 69–92 (französisch)
- Raphaël Salem: Algebraic numbers and Fourier Analysis. Heath, Boston 1963 (englisch)
- Adriano M. Garsia: Arithmetic properties of Bernoulli convolutions. In: Transactions of the AMS, 102, 1962, S. 409–432 (englisch)
- Adriano M. Garsia: Entropy and singularity of infinite convolutions. In: Pacific Journal of Mathematics, 13, 1963, S. 1159–1169 (englisch)
- Yves Meyer: Algebraic numbers and harmonic analysis. North-Holland, Amsterdam 1972 (englisch)
- Marie-José Bertin, Annette Decomps-Guilloux, Marthe Grandet-Hugot, Martine Pathiaux-Delefosse, Jean-Pierre Schreiber: Pisot and Salem numbers. Birkhäuser, Basel 1992, ISBN 3-7643-2648-4 (englisch)<ref>siehe auch Michel Mendès-France: Book Review. In: Bulletin of the AMS, 29, 1993, S. 274–278</ref>
- James McKee, Chris Smith: Salem Numbers, Pisot Numbers, Mahler Measure, and Graphs. (PDF; 875 kB) In: Experimental Mathematics, 14, 2005, S. 211–229 (englisch)
Weblinks
- David Terr: Pisot Number. In: MathWorld (englisch).
- David Boyd: Pisot number. In: Encyclopaedia of Mathematics, Springer, 2001 (englisch)
- Andrew Potter: <templatestyles src="Webarchiv/styles.css" />Pisot numbers ( vom 27. September 2006 im Internet Archive; PDF) – einfache Einführung (englisch)
Einzelnachweise
<references />