Satz von Binet-Cauchy

Der Satz von Binet-Cauchy ist ein Satz aus dem mathematischen Teilgebiet Lineare Algebra. Der nach Jacques Philippe Marie Binet und Augustin-Louis Cauchy benannte Satz besteht aus einer Formel zur Berechnung der Determinante einer quadratischen Matrix <math>C</math>. Um ihn anzuwenden, muss eine Produktdarstellung <math>C = A \cdot B</math> bekannt sein. Der Satz von Binet-Cauchy verallgemeinert den Determinantenproduktsatz, der sich als Spezialfall ergibt, wenn <math>A</math> und <math>B</math> quadratisch sind.

Satz

Sind <math>A</math> eine <math>n \times m</math>-Matrix und <math>B</math> eine <math>m \times n</math>-Matrix, dann berechnet sich die Determinante von <math>A \cdot B</math> durch Aufsummieren aller Produkte aus je einem <math>n</math>-dimensionalen Minor von <math>A</math> und <math>B</math>:

<math>\det(A \cdot B) = \sum_{S \subseteq \{1,2,\ldots,m\} \atop |S| = n} \det(A_S)

\det(B_S) = \sum_{S \subseteq \{1,2,\ldots,m\} \atop |S| = n} \det(A_S \cdot B_S)</math>

Die Untermatrizen <math>A_S</math> und <math>B_S</math> ergeben sich aus den Matrizen <math>A</math> und <math>B</math> wenn nur die Spalten aus <math>A</math> bzw. Zeilen aus <math>B</math> verwendet werden, deren Nummern in <math>S</math> vorkommen. Dabei muss die ursprüngliche Reihenfolge der Spalten bzw. Zeilen jedoch erhalten bleiben. Ist <math>n > m</math>, dann gibt es solche Untermatrizen nicht und es gilt <math>\det(A \cdot B) = 0</math>.

Gilt <math>A, B \in \mathbb{R}^{n \times n}</math>, dann gibt es genau eine Teilmenge <math>S = \{1,2,\ldots,n\}</math> und es gilt <math>\det(A \cdot B) = \det (A) \cdot \det (B)</math>.

Beispiel

In diesem Beispiel wird die Determinante der Matrix <math>C</math> mit Hilfe des Satzes von Binet-Cauchy berechnet. Für diese Matrix ist die folgende Produktdarstellung gegeben:

<math>C = \begin{pmatrix} 58 & 64 \\ 139 & 154 \end{pmatrix}

= \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 7 & 8 \\ 9 & 10 \\ 11 & 12 \end{pmatrix} = A \cdot B</math>.

Nach dem Satz von Binet-Cauchy gilt:

<math>\det(C) = \sum_{S \subseteq \{1,2,3\} \atop |S| = 2} \det(A_S)

\det(B_S)</math>

<math>\qquad = \det(A_{\{1,2\}}) \cdot \det(B_{\{1,2\}}) + \det(A_{\{2,3\}}) \cdot \det(B_{\{2,3\}}) + \det(A_{\{1,3\}}) \cdot \det(B_{\{1,3\}})</math>

<math>\qquad = \det \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 4 & 5 \end{pmatrix} \cdot \det \begin{pmatrix} 7 & 8 \\ 9 & 10 \end{pmatrix}

+ \det \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 5 & 6 \end{pmatrix} \cdot \det \begin{pmatrix} 9 & 10 \\ 11 & 12 \end{pmatrix} + \det \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 4 & 6 \end{pmatrix} \cdot \det \begin{pmatrix} 7 & 8 \\ 11 & 12 \end{pmatrix}</math>

<math>\qquad = (-3) \cdot (-2) + (-3) \cdot (-2) + (-6) \cdot (-4)</math>

<math>\qquad = 36</math>.

Literatur

Felix R. Gantmacher: Matrizentheorie. Springer-Verlag, 1986, ISBN 3-540-16582-7, S. 28–29
Igor R. Shafarevich, Alexey O. Remizov: Linear Algebra and Geometry, Springer, 2012, ISBN 978-3-642-30993-9, §2.9 (S. 68) & §10.5 (S. 377)