Satz von Kunugui

Der Satz von Kunugui besagt, dass sich jeder metrische Raum isometrisch in einen Banachraum einbetten lässt.

Formulierung

Sei <math>(X,d)</math> ein metrischer Raum. Falls <math>X= \emptyset</math> leer ist, so lässt sich <math>X</math> trivial einbetten, andernfalls sei <math>s\in X</math> ein fest gewählter Punkt. Für jedes <math>x \in X</math> sei nun durch <math>f_x(y) := d(x,y)-d(y,s)</math> eine reelle Funktion auf <math>X</math> erklärt. Dann ist die Abbildung <math>x\mapsto f_x</math> eine Isometrie von <math>(X,d)</math> in den Banachraum <math>B(X)=\{f \colon X\to\R\mid f\mbox{ beschränkt}\}</math> der beschränkten Funktionen.

Anmerkungen

Die obige Aussage besteht aus zwei Teilen, zum einen muss gezeigt werden, dass die <math>f_x</math> alle (bzgl. der Supremumsnorm) beschränkt sind und, dass die Zuordnung <math>x \mapsto f_x</math> tatsächlich eine Isometrie ist. Beides folgt aus der umgekehrten Dreiecksungleichung. Es gilt per Definition

<math>\| f_x\| = \sup_{y \in X} |f_x(y)| = \sup_{y \in X} |d(x,y) - d(y,s)|</math>.

Nach der Dreiecksungleichung ist der letzte Ausdruck höchstens <math>d(x,s)</math> und da <math>s \in X</math> fest gewählt ist, ist <math>f_x</math> beschränkt. Außerdem gilt für zwei Punkte <math>x,x' \in X</math>, dass

<math>\| f_x - f_{x'} \| = \sup_{y \in X} |(d(x,y) - d(y,s)) - (d(x',y) - d(y,s))| = \sup_{y \in X} |d(x,y) - d(x',y)|</math>.

Der letzte Term ist höchsten <math>d(x,x')</math> und wenn man für <math>y</math> z. B. den Punkt <math>x</math> einsetzt, sieht man, dass sogar die Gleichheit <math>\| f_x - f_{x'}\| = d(x,x')</math> gilt.

Das Bemerkenswerte am Satz von Kunugui ist die einfache Idee, von dem intuitiv einleuchtenden Abstand <math>d(x,y)</math> den Term <math>d(y,s)</math> abzuziehen, und somit die Beschränktheit der Abbildung <math>f_x\colon X\to\R</math> zu erreichen.

Aus der Tatsache, dass sich ein metrischer Raum isometrisch in einen vollständigen Raum einbetten lässt, folgt nicht, dass er selbst vollständig ist. Beispielsweise ist der Raum <math>\R \setminus \{0\}</math> mit der euklidischen Metrik unvollständig – unter anderem konvergiert die Cauchy-Folge <math>(1/n)_{n \ge 1}</math> nicht – aber er lässt sich dennoch durch die Inklusion isometrisch in den vollständigen Raum <math>\R</math> einbetten.

Literatur

Kinjirô Kunugui: Applications des espaces à une infinité de dimensions à la théorie des ensembles. In: Proceedings of the Imperial Academy. 11, 9, 1935, {{#invoke:URIutil|{{#ifeq:1|1|linkISSN|targetISSN}}|0369-9846|0}}{{#ifeq:1|0|[!]

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