Satz von Schoenflies

Der im Jahre 1908 von Arthur Schoenflies bewiesene Satz von Schoenflies bildet ein wesentliches Bindeglied zwischen der Topologie und dem kombinatorischen Problem des Kartenfärbens (Vier-Farben-Satz). Anschaulich besagt er: Malt man eine geschlossene Kurve (ohne Überkreuzungen) auf ein Gummituch, dann kann man das Tuch so verziehen, dass aus der Kurve ein Kreis wird.

Satz

Es sei <math>K\subset\mathbb R^2</math> eine geschlossene Jordankurve und <math>S^1\subset\mathbb R^2</math> bezeichne den Einheitskreis. Dann lässt sich jeder Homöomorphismus <math>h \colon K \to S^1</math> zu einem Homöomorphismus <math>H \colon \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2</math> fortsetzen.

Höhere Dimensionen

Die unmittelbare Verallgemeinerung des Satzes von Schoenflies auf höhere Dimensionen gilt nicht, da in drei Dimensionen Alexanders Sphäre (siehe<ref>Charles O. Christenson, William L. Voxman: Aspects of topology. Verlag Marcel Dekker, New York [u. a.] 1977, ISBN 0-8247-6331-9, S. 144. </ref> und Weblink) ein Gegenbeispiel bietet.

Dagegen hat Morton Brown den Satz wie folgt verallgemeinert: Wird eine <math>(n-1)</math>-dimensionale Sphäre <math>S</math> lokal flach in eine <math>n</math>-dimensionale Sphäre <math>S^n</math> eingebettet, so ist das Paar <math>(S^n,S)</math> homöomorph zu <math>(S^n,S^{n-1})</math>, wobei <math>S^{n-1}</math> der Äquator der <math>n</math>-Sphäre ist. (Dabei heißt eine Einbettung <math>i:S^{n-1}\rightarrow S^n</math> lokal flach, wenn es eine Einbettung <math>S^{n-1}\times \left[0,1\right]\rightarrow S^n</math> gibt, die auf <math>S^{n-1}\times\left\{0\right\}=S^{n-1}</math> mit <math>i</math> übereinstimmt.)

Dies gilt insbesondere für differenzierbar eingebettete Sphären, wo das Resultat als Satz von Mazur bekannt ist.

Folgerung

Der Satz von Schoenflies zieht unmittelbar den Jordanschen Kurvensatz nach sich: Die beiden disjunkten Gebiete, in die <math>\R^2 \setminus K </math> zerlegt wird, sind gerade <math>H^{-1}(\{x\in \R^2 : \|x\|_2 < 1\})</math> (das beschränkte Gebiet) und <math>H^{-1}(\{x\in \R^2 : \|x\|_2 > 1\})</math> (das unbeschränkte Gebiet).<ref>Egbert Harzheim: Einführung in die Kombinatorische Topologie (= Die Mathematik. Einführungen in Gegenstand und Ergebnisse ihrer Teilgebiete und Nachbarwissenschaften). Wissenschaftliche Buchgesellschaft, Darmstadt 1978, ISBN 3-534-07016-X, S. 150 (MR0533264). </ref>

Literatur

Morton Brown: A proof of the generalized Schoenflies theorem. In: Bulletin of the American Mathematical Society, 66, 1960, ISSN 0002-9904, S. 74–76, ams.org (PDF; 280 kB)
Charles O. Christenson, William L. Voxman: Aspects of topology. Verlag Marcel Dekker, New York [u. a.] 1977, ISBN 0-8247-6331-9.
Egbert Harzheim: Einführung in die Kombinatorische Topologie (= Die Mathematik. Einführungen in Gegenstand und Ergebnisse ihrer Teilgebiete und Nachbarwissenschaften). Wissenschaftliche Buchgesellschaft, Darmstadt 1978, ISBN 3-534-07016-X (MR0533264).

Weblinks

Eric Weisstein: Schoenflies Theorem. In: MathWorld (englisch).
Alexanders „gehörnte Sphäre“ in der englischsprachigen Wikipedia

Einzelnachweise