Satz von Thue-Siegel-Roth
Der Satz von Thue-Siegel-Roth aus der Theorie diophantischer Approximationen in der Zahlentheorie wurde von Klaus Friedrich Roth nach Vorarbeiten von Axel Thue und Carl Ludwig Siegel 1955 bewiesen.<ref>Klaus Friedrich Roth: Rational approximations to algebraic numbers and Corrigendum. In: Mathematika. Bd. 2, 1955, {{#invoke:URIutil|{{#ifeq:1|1|linkISSN|targetISSN}}|0025-5793|0}}{{#ifeq:1|0|[!] }}{{#ifeq:0|1
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}}, S. 1–20 und 168.</ref>
Er besagt, dass für jede algebraische Zahl <math>\alpha</math> und jedes <math>\varepsilon >0</math> die Ungleichung (p, q teilerfremd)
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nur endlich viele Lösungen hat. Indem man diese endlich vielen Lösungen beiseitelässt, lässt sich aus (Ungleichung 1) folgern, dass für genügend große q für jedes irrationale <math>\alpha</math> gilt:
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mit einem nur von <math>\varepsilon</math> und <math>\alpha</math> abhängigen C. In dieser Form wird der Satz von Thue-Siegel-Roth meist präsentiert. Das ist der „beste“ mögliche solche Satz, da nach Peter Gustav Lejeune Dirichlet (Dirichletscher Approximationssatz) jede reelle Zahl <math>\alpha</math> Approximanten p/q hat, die näher als <math>q^{-2}</math> liegen. Es gibt sogar unendlich viele, z. B. die Approximanten der Kettenbruch-Darstellungen dieser Zahlen (deren Sonderrolle der Satz somit ebenfalls aufzeigt).<ref>Fridtjof Tönniessen, Das Geheimnis der transzendenten Zahlen, Spektrum Akademischer Verlag 2010, S. 421 </ref> Das heißt, es gibt für jede irrationale Zahl <math>\alpha</math> unendlich viele rationale Zahlen <math>\frac {p}{q}</math> mit <math> q >0</math> so dass:
- <math>\left|\alpha - \frac{p}{q}\right| < q^{-2}</math>
Danach waren schrittweise obere Schranken für Exponenten <math> \mu </math> bestimmt worden, so dass es endlich viele rationale Näherungslösungen <math>\frac {p}{q}</math> für algebraische irrationale Zahlen <math>\alpha</math> mit
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<math>\left
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gibt. Joseph Liouville zeigte 1844 <math>\mu < n</math>, mit <math> n >1</math> (siehe Diophantische Approximation). Hierbei ist n der Grad der algebraischen Gleichung mit Wurzel <math>\alpha</math>. Elementare Überlegungen zeigen außerdem, dass <math>\mu > 2</math> ist (siehe oben). Damit war <math> 2 < \mu \leq n</math> bekannt und es wurden verfeinerte Schranken gesucht.<ref>Fridtjof Tönniessen, Das Geheimnis der transzendenten Zahlen, Spektrum Akademischer Verlag 2010, S. 418</ref> Axel Thue zeigte 1908, dass <math>\mu \leq n/2+1</math> und Carl Ludwig Siegel 1921 in seiner Dissertation (wobei er das Ergebnis schon 1916 seinem Lehrer Frobenius mitteilte), dass <math>\mu \leq 2 \sqrt {n} </math>. Roth zeigte, dass 2 tatsächlich die optimale Schranke ist, denn für <math>\mu \leq 2+\varepsilon</math> gibt es nur endlich viele Lösungen.
Der Beweis des Satzes ist umfangreich und findet sich zum Beispiel in den Lehrbüchern von Theodor Schneider<ref>Schneider, Einführung in die transzendenten Zahlen, Springer 1957</ref> oder John Cassels.<ref>Cassels, An introduction to diophantine approximation, Cambridge UP 1957</ref>
Der Beweis von Roth gibt keine Methode an, solche Lösungen zu finden bzw. C einzuschränken. Das wäre interessant, um etwas über die Anzahl der Lösungen Diophantischer Gleichungen zu erfahren (d. h. ganzzahligen oder rationalen Lösungen algebraischer Gleichungen, für die beispielsweise das <math>\alpha</math> in (Ungleichung 2) eine reelle Wurzel ist). Solche effektiven Methoden wurden in den 1960er Jahren von Alan Baker in die Theorie transzendenter Zahlen und diophantischer Gleichungen eingeführt. Der Satz von Thue-Siegel-Roth folgt auch aus dem Subspace-Theorem von Wolfgang Schmidt. Dieser gab auch eine Verallgemeinerung für simultane Näherung mehrerer algebraischer Zahlen <math>x_1 , \cdots , x_n</math>. Seien <math> 1, x_1, \cdots , x_n </math> linear unabhängig über den rationalen Zahlen und <math>\varepsilon </math> eine beliebige positive reelle Zahl, dann gibt es nur endliche viele n-Tupel rationaler Zahlen <math> \frac {p_1}{q}, \cdots , \frac {p_n}{q}</math> mit
- <math>\left|x_i-\frac {p_i}{q}\right|<q^{-(1+\frac{1}{n}+\varepsilon)},\quad i=1,\ldots,n.</math>
Es gibt auch eine p-adische Version des Satzes von Thue-Siegel-Roth.<ref>Bewiesen von D. Ridout, The p-adic generalization of the Thue-Siegel-Roth theorem, Mathematika, Band 5, 1958, S. 40–48</ref>
Als Anwendung des Satzes von Thue-Siegel-Roth kann man neue transzendente Zahlen finden. Der Satz von Liouville lieferte diese in Form Liouvillescher Zahlen. Mit dem Satz von Thue-Siegel-Roth braucht man nur irrationale Zahlen zu finden, die besser als <math>\frac {1}{q^2}</math> durch rationale Zahlen approximierbar sind und nicht <math>\frac {1}{q^n}</math> wie beim Satz von Liouville. Ein Beispiel ist der Nachweis der Transzendenz für die Zahl
- <math>\tau = 0 {,} 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 \cdots </math>
also der Zahl die entsteht wenn man alle Dezimalzahlen hintereinanderschreibt.<ref>Fridtjof Tönniessen, Das Geheimnis der transzendenten Zahlen, Spektrum Akademischer Verlag 2010, S. 420</ref> Das Gleiche gilt wenn man die Zahl nicht basierend auf dem Dezimalsystem, sondern etwa dem Stellwertsystem zur Basis 3 konstruiert. Der ursprüngliche Beweis stammt von Kurt Mahler (1946) und der Beweis erfordert nicht unbedingt den Satz von Thue-Siegel-Roth. <math>\tau</math> ist keine Liouvillesche Zahl.
Literatur
- Theodor Schneider: Einführung in die transzendenten Zahlen, Springer 1957
- John Cassels: An introduction to diophantine approximation, Cambridge UP 1957
- William LeVeque: Topics in number theory, Band 2, 1956, Kapitel 4, Nachdruck Dover 2002
Einzelnachweise
<references />