Schätzfehler
Vorlage:Hinweisbaustein In der Statistik bezeichnet der Schätzfehler die Abweichung einer Schätzfunktion <math>\hat{\vartheta}</math> vom unbekannten Parameter der Grundgesamtheit <math>\vartheta</math>. Er ist ein Maß für die Güte der Schätzfunktion (oder Interpolation).
Definition
Er ist definiert als:
- <math>e:=\hat{\vartheta}-\vartheta </math>
Ist der wahre Parameter unbekannt, so ist auch der Schätzfehler unbekannt. Trotzdem ist es möglich, eine Aussage über die Präzision des Schätzfehlers zu machen.
Parameter des Schätzfehlers
- Der Erwartungswert des Schätzfehlers wird als Verzerrung bezeichnet.
- Die Standardabweichung des Schätzfehlers ist gleich dem Standardfehler.
Beispiele
Wenn <math>\mu</math> der Mittelwert in der Grundgesamtheit ist, <math>\sigma^2</math> die Varianz und <math>\pi</math> der Anteilswert in einer dichotomen Grundgesamtheit ist, dann zeigt die folgende Tabelle Schätzfunktionen, Schätzfehler und Verzerrungen. Dabei bezeichnet <math>N(\mu, \sigma^2)</math> die Normalverteilung mit Erwartungswert <math>\mu</math> und Varianz <math>\sigma^2</math>.
| Parameter der Grundgesamtheit |
Stichprobenvariablen | Schätzfunktion <math>\hat{\theta}</math> | Schätzfehler <math>e</math> | Verzerrung <math>\operatorname{E}(e)</math> |
|---|---|---|---|---|
| <math>\mu</math> | <math>X_i \sim N (\mu, \sigma^2)</math> | <math>\bar{X}=\frac{X_1 + \ldots + X_n}{n}</math> | <math>\bar{X}-\mu</math> | <math>0</math> |
| <math>\mu</math> | <math>X_i \sim (\mu, \sigma^2)</math> und ZGS erfüllt | <math>\bar{X}=\frac{X_1 + \ldots + X_n}{n}</math> | <math>\bar{X}-\mu</math> | <math>0</math> |
| <math>\pi</math> | <math>X_i</math> dichotom | <math>\Pi=\frac{X_1 + \ldots + X_n}{n}</math> | <math>\Pi-\pi</math> | <math>0</math> |
| <math>\sigma^2</math> | <math>X_i\sim N(\mu, \sigma^2)</math> und <math>\mu</math> bekannt | <math>S^{*2}=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (X_i - \mu)^2</math> | <math>S^{*2}-\sigma^2</math> | <math>0</math> |
| <math>\sigma^2</math> | <math>X_i\sim N(\mu, \sigma^2)</math> und <math>\mu</math> unbekannt | <math>S^2=\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n (X_i - \bar{X})^2</math> | <math>S^2-\sigma^2</math> | <math>0</math> |
| <math>\sigma^2</math> | <math>X_i\sim N(\mu, \sigma^2)</math> und <math>\mu</math> unbekannt | <math>S^{'2}=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (X_i - \bar{X})^2</math> | <math>S^{'2}-\sigma^2</math> | <math>-\frac{\sigma^2}{n}</math> |
Der Erwartungswert des Schätzfehlers ist die Verzerrung.