Schwerpunktsystem

Das Schwerpunktsystem (englisch: Center-of-mass system, CMS) ist ein Bezugssystem, in dem der Schwerpunkt des betrachteten physikalischen Systems im Koordinatenursprung ruht. Im Schwerpunktsystem lassen sich viele dynamische Vorgänge besonders einfach beschreiben.

Aus der Definition des Schwerpunktsystems folgt direkt, dass in ihm der Gesamtimpuls der beteiligten Massen <math>m_i</math> (die Summe aller Impulsvektoren <math> \vec p_i </math>) zu jeder Zeit, vor wie nach einem Stoß- oder Reaktionsvorgang, gleich null ist:

<math>\sum_{i} \vec p_i = \vec 0</math>

Für den Ortsvektor <math>\vec r_s {}</math> des Schwerpunkts S im Laborsystem gilt

<math>\vec r_s = \frac{\sum_{i} m_i \vec r_i}{\sum_{i} m_i}. </math>

Die Transformation von einem System in das andere ist im klassischen Fall eine Galilei-Transformation, im relativistischen Fall eine Lorentztransformation.

In der Astronomie wird das Schwerpunktsystem eines Mehrkörper-Problems baryzentrisches System genannt.

Beispiel für die Anwendung

Die Geschwindigkeiten zweier Körper nach einem klassischen elastischen Stoß werden im Laborsystem durch Lösung eines Gleichungssystems aus Energieerhaltungssatz

<math>\begin{align}

\sum E_\mathrm{kin} & = \sum E'_\mathrm{kin} \\
\frac{m_1}{2} v_1^2 + \frac{m_2}{2} v_2 ^2 & = \frac{m_1}{2} v_1'^2 + \frac{m_2}{2} v_2'^2 \\
\end{align}</math>

und Impulserhaltungssatz

<math>\begin{align}

\sum \vec p & = \sum \vec p' \\
m_1 \vec v_1 + m_2 \vec v_2 & = m_1 \vec v_1' + m_2 \vec v_2' \\
\end{align}</math>

bestimmt.

Im Schwerpunktsystem reduziert sich der gesamte Prozess nach Abzug der Schwerpunktgeschwindigkeit

<math>\begin{align}

\vec v_s & = \frac{\sum \vec {p} }{\sum {m}} \\
\end{align}</math>

(Galilei-Transformation) auf einen Vorzeichenwechsel einer Geschwindigkeitskomponente (relativ zum Schwerpunkt) jedes Körpers.

Zahlenbeispiel

Körper 1 mit Masse m=0,1kg und v=100m/s stößt auf einen ruhenden Körper der Masse 1,9 kg.

Im Laborsystem würde man aus den Erhaltungssätzen das folgende Gleichungssystem lösen:

<math>\begin{align}

\frac{1}{2} \cdot 0{,}1\, \mathrm{kg} \cdot v_1'^2 + \frac{1}{2} \cdot 1{,}9\, \mathrm{kg} \cdot v_2'^2 &= \frac{1}{2} \cdot 0{,}1\, \mathrm{kg} \cdot \left(100\, \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\right)^2 + \frac{1}{2} \cdot 1{,}9\, \mathrm{kg} \cdot \left(0\, \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\right)^2 = 500\, \frac{\mathrm{kg}\, \mathrm{m}^2}{\mathrm{s}^2} \\
0{,}1\, \mathrm{kg} \cdot v_1' + 1{,}9\, \mathrm{kg} \cdot v_2' &= 0{,}1\, \mathrm{kg} \cdot 100\, \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}} + 1{,}9\, \mathrm{kg} \cdot 0\, \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}} = 10\, \frac{\mathrm{kg}\, \mathrm{m}}{\mathrm{s}} \\
\end{align}</math>

Im Schwerpunktsystem berechnet man zunächst die Schwerpunktgeschwindigkeit:

<math>\begin{align}

v_s = \frac{0{,}1\, \mathrm{kg} \cdot 100\, \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}} + 1{,}9\, \mathrm{kg} \cdot 0\, \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}}{0{,}1\, \mathrm{kg} + 1{,}9\, \mathrm{kg}} = 5\, \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}
\end{align}</math>

Diese wird von den Anfangsgeschwindigkeiten subtrahiert.

Die Körper haben nun die Relativgeschwindigkeiten 95m/s und -5m/s. Durch den Stoß werden nur die Vorzeichen getauscht. Körper 1 hat nun v=-95m/s, Körper 2 hat v=+5m/s.

Anschließend findet die Rücktransformation ins Laborsystem statt durch Addition der Schwerpunktgeschwindigkeit (+5m/s), was auf die Endgeschwindigkeiten v=-90m/s für Körper 1 und v=+10m/s für Körper 2 führt.

Literatur

• L. D. Landau, E. M. Lifschitz: Lehrbuch der theoretischen Physik Band 1: Mechanik, Akademie Verlag Berlin 1970
• Dieter Meschede: Gerthsen Physik, Springer, 24. Auflage 2010, ISBN 978-3-642-12893-6
• Andreas Guthmann: Einführung in die Himmelsmechanik und Ephemeridenrechnung, Spektrum Akademischer Verlag, 2. Auflage 2000, ISBN 3-8274-0574-2

Siehe auch

• Schwerpunktsenergie
• Kinematik (Teilchenstoß)

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