Semi-Markow-Prozess

Ein Semi-Markow-Prozess (SMP), auch bekannt als Markow-Erneuerungsprozess, ist eine Verallgemeinerung eines Markow-Prozesses. Im Unterschied zu einem Markow-Prozess, dessen Zustandsänderungen in gleichen Zeitabständen erfolgen, wird hierbei die Verweildauer in einem Zustand durch einen weiteren stochastischen Prozess gegeben.

Definition

In der Theorie der stochastischen Prozesse ist ein Semi-Markow-Prozess <math>Z</math> gegeben durch ein Paar von Prozessen <math>Z = (X,Y)</math>. Dabei ist <math>X</math> eine Markow-Kette mit Zustandsraum <math>S</math> und Übergangsmatrix <math>P</math> (sog. steuernde Kette). <math>Y</math> ist ein Prozess, für den <math>Y(n)</math> nur von <math>r = X(n-1)</math> und <math>s = X(n)</math> abhängt. Die Verteilungsfunktion ist dabei durch <math>F_{rs}</math> gegeben.

Der Semi-Markow-Prozess <math>Z</math> ist dann derjenige Prozess, dessen Zustand zum Zeitpunkt <math>n</math> aus <math>S</math> entsprechend <math>X(n)</math> bestimmt ist. Die Verweildauer von <math>X(n-1)</math> bis <math>X(n)</math> ist dann gegeben durch <math>Y(n)</math>.

Eigenschaften

Da die Eigenschaften von <math>Y</math> abhängig sind sowohl vom aktuellen Zustand <math>X(n-1)</math> als auch vom Folgezustand <math>X(n)</math> ist die Markow-Eigenschaft im Allgemeinen nicht erfüllt. Dennoch ist der Prozess <math>W(n) = (X(n), Y(n))</math> ein Markow-Prozess. Dies erklärt auch den Namen Semi-Markow-Prozess.

Anwendungen

Systeme beispielsweise in der Warteschlangentheorie weisen Eigenschaften auf, die mit einfachen Markow-Prozessen nicht immer abgebildet werden können. Als Beispiel sei hier die Autokorrelation genannt. Um dies zu erreichen, werden oft Semi-Markow-Prozesse zur Modellierung der Ankunftsraten eingesetzt<ref>Kempken, Sebastian: Modellierung und verifizierte Analyse von zeitkorreliertem Datenverkehr im Internet VDI Verlag, Düsseldorf 2009, ISBN 978-3-18-380410-8</ref>.

Einzelnachweise