Stieltjes-Konstanten

Die Stieltjes-Konstanten <math>\gamma_n</math> sind eine Folge reeller Zahlen, die durch den Grenzwert

<math>

\gamma_n := \lim_{N\to \infty} \left(\sum_{k=1}^N\frac{(\log k)^n}{k} - \frac{(\log N)^{n+1}}{n+1}\right), \quad n = 0, 1, 2, \dotsc </math> definiert sind, wobei <math>\gamma_0</math> die Eulersche Konstante <math>\gamma</math> ist. Es wird vermutet, dass die <math>\gamma_n</math> irrational sind. Ein Beweis dafür konnte bislang nicht erbracht werden. Aufgrund ihrer Definition werden sie gelegentlich auch als verallgemeinerte Eulersche Konstanten bezeichnet. Sie treten in der Laurent-Entwicklung der Riemannschen Zetafunktion

<math>

\zeta(s) = \frac1{s-1}+\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n\gamma_n}{n!}(s-1)^n </math> und bei der Auswertung gewisser bestimmter Integrale auf:

<math>

\int\limits_0^{\infty}\frac{(\log x)^2}{e^x+1}\,\mathrm{d}x = (\log2) \, \left(\frac{1}{3} (\log 2)^2 + \zeta(2) - \gamma^2 - 2\gamma_1\right) = 1{,}121192486\dots</math>

Sie hängen eng mit den Zahlen

<math>\tau_n := \sum_{k=1}^{\infty}(-1)^{k+1}\frac{(\log k)^n}{k}, \quad n = 0, 1, 2, \dotsc</math>

zusammen. Diese lassen sich numerisch gut über eine Konvergenzbeschleunigung (fortgesetzte Mittelung) berechnen. Es gilt die Rekursion

<math>

\tau_0=\log2 </math>

<math>\tau_n = \frac{(\log 2)^{n+1}}{n+1} - \sum_{k=0}^{n-1}\binom{n}{k} (\log 2)^{n-k} \cdot\gamma_k,\qquad n = 1, 2, \dotsc

</math> und die explizite Darstellung mit Hilfe der Bernoullischen Zahlen:

<math>

\gamma_n = -\frac1{n+1}\sum_{k=0}^{n+1}\binom{n+1}{k}B_{n+1-k} (\log 2)^{n-k} \cdot \tau_k, \quad n = 0, 1, 2, \dotsc </math> Aus der Rekursion ergibt sich für <math>n=1</math> die Identität <math>\tau_1 = \tfrac12 (\log 2)^2 - \gamma\log2</math>, d. h. für die eulersche Konstante die alternierende Reihe

<math>

\gamma = \frac{1}{2}\log 2 + \frac1{\log2}\sum_{k=2}^{\infty}(-1)^k\frac{\log k}{k} = \frac{1}{2}\log 2 + \sum_{k=2}^{\infty}(-1)^k\frac{\log_2 k}{k}, </math> die der Reihe von Vacca sehr ähnlich ist.

Die Folge <math>\gamma_n</math> zeigt ein oszillierendes Verhalten mit asymptotisch langsam gegen 0 sinkender „Frequenz“. Bekannt ist, dass gilt:

<math>\limsup_{n \to \infty} \frac{\ln |\gamma_n| }{n} = \ln \ln n</math>

Numerische Werte

n	Dezimalentwicklung von γn	OEIS
00	−0,577215664901532860606512090082 …	A001620
01	−0,0728158454836767248605863758749 …	A082633
02	−0,00969036319287231848453038603521 …	A086279
03	−0,00205383442030334586616004654275 …	A086280
04	−0,00232537006546730005746817017752 …	A086281
05	−0,000793323817301062701753334877444 …	A086282
06	−0,000238769345430199609872421841908 …	A183141
07	−0,000527289567057751046074097505478 …	A183167
08	−0,000352123353803039509602052165001 …	A183206
09	−0,000034394774418088048177914623798 …	A184853
10	−0,000205332814909064794683722289237 …	A184854

Verallgemeinerung

Für die Hurwitzsche Zetafunktion ist von Bedeutung:

<math>

\gamma_n(a) := \lim_{N\to \infty} \left(\sum_{k=1}^N\frac{\log(k+a)^n}{k+a} - \frac{\log(N+a)^{n+1}}{n+1}\right), \quad n = 0, 1, 2, \dotsc </math>

Literatur

• Rick Kreminski: Newton-Cotes integration for approximating Stieltjes (generalized Euler) constants. In: Mathematics of Computation. V. 72, No. 243, 2003, S. 1379–1397.
• Charles Knessl, Mark W, Coffey: An effective asymptotic formula for the Stieltjes Constants. In: Mathematics of Computation. V. 80, No. 273, 2010, S. 379–386.

Weblinks

• {{#if: | {{{author}}} | Eric W. Weisstein }}: Stieltjes Constants. In: MathWorld (englisch). {{#if: | {{#ifeq: {{#property:P2812}} | {{{id}}} | | {{#if: {{#property:P2812}} | {{#ifeq: 0 | 0 | }} | {{#ifeq: 0 | 0 | }} }} }} }}
• Werte der Stieltjes-Konstanten von 0 bis 78, je 256 Dezimalstellen