Streuamplitude

Die Streuamplitude <math>f</math> ist eine Größe der Streutheorie, die die Richtungsabhängigkeit der Streuwelle beschreibt, wenn eine ebene Welle an einem Streuzentrum gestreut wird. Sie hat die Dimension Länge und verbindet die S-Matrix mit dem Wirkungsquerschnitt.

Definition

Die Streuamplitude <math>f(p \to p')</math> ist über den S-Operator <math>S</math> definiert:

<math>\langle p'|S|p\rangle = \delta^{(3)}(\vec p' - \vec p) + \tfrac{\mathrm i}{2\pi m} \delta(E' - E) f(p \to p')</math>

Dabei sind

• <math>|p \rangle</math> der Anfangszustand und <math>|p'\rangle</math> der Endzustand mit definiertem Impuls, also Eigenzustände des Impulsoperators,
• <math>\vec p, \vec p'</math> die Impulse der Zustände,
• <math>E, E'</math> die Energie der Zustände,
• <math>m</math> die Masse (Physik) der Zustände und
• <math>\delta</math> die Dirac-Distribution.

Alternativdefinition

Im Folgenden wird eine alternative Darstellung vorgestellt, die vielfach auch als Definition benutzt wird. In ihr kann die Streuamplitude als Funktion der Energie des eingehenden Zustands sowie des Winkels <math>\theta</math> zwischen <math>\vec p</math> und <math>\vec p'</math> geschrieben werden, da der S-Operator und damit auch die Streuamplitude invariant unter Rotationen sind:

<math>\begin{align}

\psi_\mathrm{out}(\vec p') &= \langle p' | \psi_\mathrm{out} \rangle = \langle p' | S | \psi_\mathrm{in}\rangle = \int \mathrm d^3 \vec p\, \langle p' | S | p \rangle \langle p | \psi_\mathrm{in}\rangle = \int \mathrm d^3 \vec p\, \langle p' | S | p \rangle \, \psi_\mathrm{in}(p) \\ &=\psi_\mathrm{in}(\vec p') + \frac{\mathrm i}{2\pi m} \int \mathrm d^3 \vec p\, \delta(E' - E) f(p \to p') \psi_\mathrm{in}(\vec{p})\\ &=\psi_\mathrm{in}(\vec p') + \frac{\mathrm i}{2\pi m} f(E', \theta) \int \mathrm d^3 \vec p \, \delta(E' - E) \; \psi_\mathrm{in}(\vec p) \end{align}</math>

Wenn für die eingehende Welle <math>\psi_\mathrm {in}</math> eine ebene Welle parallel zur z-Achse angenommen wird, ergibt dies:

<math>\psi_\mathrm{out}(p') = e^{\mathrm ip'z} + f(E', \theta) \; \frac{e^{\mathrm ip'r}}{r}</math>

Wirkungsquerschnitt

Der differenzielle Wirkungsquerschnitt ist gegeben durch:

<math>\frac{d\sigma}{d\Omega} = |f(\vartheta)|^2 \; .</math>

Zum totalen Wirkungsquerschnitt existiert eine Verbindung über das optische Theorem:

<math>\sigma_\mathrm{tot} = \int_{4\pi} \frac{d \sigma}{d \Omega} \cdot d \Omega= \frac{4\pi}{k}~\mathrm{Im} \, f(0)</math>

mit der Wellenzahl <math>k</math> und dem Imaginärteil <math>\mathrm{Im} \, f(0)</math> der Streuamplitude für den Streuwinkel Null.

Partialwellenentwicklung

In der Partialwellenentwicklung wird die Streuamplitude durch eine Summe über Partialwellen ausgedrückt:

<math>f(\vartheta) = \sum_{\ell = 0}^\infty (2 \ell + 1) \; f_\ell(k) \; P_\ell(\cos \vartheta)</math>

wobei

• <math>f_\ell(k)</math> die partielle Streuamplitude
• <math>P_\ell(\cos \vartheta)</math> das Legendre-Polynom
• <math>\ell</math> der Index für den Drehimpuls ist.

Die partielle Streuamplitude kann durch das S-matrix Element <math>S_\ell = e^{2i \delta_\ell}</math> und die Streuphase <math>\delta_\ell</math> ausgedrückt werden:

<math>f_\ell = \frac{S_\ell-1}{2ik} = \frac{e^{2i\delta_\ell}-1}{2ik} = \frac{e^{i\delta_\ell} \sin\delta_\ell}{k} = \frac{1}{k\cot\delta_\ell-ik} \;.</math>

Es ist zu beachten, dass die partielle Streuamplitude <math>f_\ell</math>, das S-matrix Element <math>S_\ell=e^{2i\delta_\ell}</math> und die Streuphase <math>\delta_\ell</math> implizit Funktionen der Streuenergie bzw. des Impulses <math>k</math> sind (hier in Form des Wellenvektors k, wobei gilt <math>\vec p = \hbar \vec k</math>).

Damit lässt sich der totale Streuquerschnitt ausdrücken als:

<math>\sigma_\text{total} = \frac{4\pi}{k^2}\sum_{l=0}^\infty(2l + 1)\sin^2 \delta_l \; .</math>

Die Streulänge <math>a_\ell</math> kann mit Hilfe der partiellen Streuamplitude definiert werden:

<math>f_\ell(p) \xrightarrow[p \rightarrow 0]{}-a_\ell \cdot p^{2\ell}</math>

Gewöhnlich wird aber nur die Streulänge <math>a_0</math> der s-Wellen <math>(\ell = 0)</math> als Streulänge bezeichnet.

Literatur

• {{#invoke:Vorlage:Siehe auch|f}}