Todd-Klasse

Die Todd-Klasse ist eine Konstruktion aus der algebraischen Topologie der charakteristischen Klassen. Die Todd-Klasse eines Vektorbündels kann mit der Theorie der Chern-Klassen erklärt werden und existiert dort, wo diese existieren, besonders in der Differentialtopologie, der Theorie komplexer Mannigfaltigkeiten und in der algebraischen Geometrie. Grob gesagt wirkt sie wie eine reziproke Chern-Klasse beziehungsweise steht zu ihr in Beziehung wie ein Normalenbündel zu einem Konormalenbündel. Die Todd-Klasse spielt eine fundamentale Rolle in der Verallgemeinerung des Satzes von Riemann-Roch auf höhere Dimensionen, im Satz von Hirzebruch-Riemann-Roch oder Satz von Grothendieck-Hirzebruch-Riemann-Roch.

Sie wird nach dem englischen Mathematiker John Arthur Todd benannt, der einen Spezialfall 1937 in die algebraische Geometrie einführte, vor der Definition der Chern-Klassen. Die geometrische Idee wird manchmal auch Todd-Eger-Klasse genannt, die allgemeine Definition in höheren Dimensionen stammt von Friedrich Hirzebruch (in seinem Buch Topologische Methoden der algebraischen Geometrie).

Definition

Um die Todd-Klasse <math>\operatorname{td}(E)</math> zu einem komplexen <math>n</math>-dimensionalen Vektorbündel <math>E</math> auf einem topologischen Raum <math>X</math> zu definieren, ist es meist möglich sich auf eine Whitney-Summe (das heißt direkte Summe) von Geradenbündeln zu beschränken unter Verwendung einer allgemeinen Methode aus der Theorie charakteristischer Klassen, den Chern-Wurzeln. Man betrachte

<math>\begin{align}

Q(x) =& \frac{x}{1-e^{-x}} =& \sum_{k=0}^\infty \frac{B_k}{k!} x^k = 1 + \frac{1}{2} x + \frac{1}{12}x^2 + \ldots \end{align}</math>

als formale Potenzreihe, wobei die Koeffizienten <math>B_i</math> die Bernoullizahlen (mit <math>B_1 = +\frac{1}{2}</math>) sind. Falls <math>E</math> die <math>\alpha_i</math> als Chern-Wurzeln hat, ist

<math>\operatorname{td}(E)=\prod_{i=1}^n Q(\alpha_i) = \prod_{i=1}^n \sum_{k=0}^\infty \frac{B_k}{k!} \alpha_i^k\,,</math>

was im Kohomologiering von <math>X</math> berechnet wird (oder in seiner Vervollständigung, falls man unendlichdimensionale Mannigfaltigkeiten betrachtet).

Die explizite Form der Todd-Klasse als formale Potenzreihe in den Chern-Klassen ist:

<math>\operatorname{td}(E)=1+c_1 \cdot \frac{1}{2} + (c_1^2 + c_2)\cdot \frac{1}{12} + c_1 c_2 \cdot \frac{1}{24} + \ldots\,,</math>

wobei die Kohomologieklassen <math>c_i</math> die Chern-Klassen von <math>E</math> sind und in der Kohomologiegruppe <math>H^{2i}(X)</math> liegen. Falls <math>X</math> endlichdimensional ist, verschwinden die meisten Terme und <math>\operatorname{td}(E)</math> ist ein Polynom in den Chern-Klassen.

Literatur

J. Todd: The arithmetical theory of algebraic loci. In: Proceedings of the London Mathematical Society. 43, 1937, {{#invoke:URIutil|{{#ifeq:1|1|linkISSN|targetISSN}}|0024-6115|0}}{{#ifeq:1|0|[!]

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}}, S. 190–225.

Friedrich Hirzebruch: Topological methods in algebraic geometry (Grundlehren der mathematischen Wissenschaften 131). 2nd corrected printing of the 3rd edition. Springer, Berlin u. a. 1978, ISBN 3-540-03525-7.