Tor (Mathematik)

Der Tor-Funktor ist ein mathematischer Begriff aus dem Teilgebiet der homologischen Algebra. Es handelt sich um einen Bi-Funktor, der bei der Untersuchung des Tensorprodukts auftritt. Er ist neben dem Ext-Funktor eine der wichtigsten Konstruktionen der homologischen Algebra.

Motivation mittels Tensorprodukten

Wir betrachten Kategorien von Moduln über einem Ring <math>R</math>. Ist

<math>0\rightarrow X\xrightarrow{\alpha} Y\xrightarrow{\beta} Z\rightarrow 0</math>

eine kurze exakte Sequenz von Links-<math>R</math>-Moduln und Modul-Morphismen und ist <math>A</math> ein Rechts-<math>R</math>-Modul, so führt das Tensorieren obiger Sequenz von links mit <math>A</math> zu einer exakten Sequenz

<math>A\otimes_R X\xrightarrow{\mathrm{id}_A\otimes \alpha} A\otimes_R Y\xrightarrow{\mathrm{id}_A\otimes \beta} A\otimes_R Z\rightarrow 0</math>

von abelschen Gruppen, die sich im Allgemeinen nicht mit dem Nullobjekt nach links zu einer exakten Sequenz fortsetzen lässt, das heißt <math>\mathrm{id}_A\otimes \alpha</math> ist im Allgemeinen nicht injektiv, oder kurz: Der Tensorfunktor ist rechtsexakt aber im Allgemeinen nicht linksexakt.

Als Beispiel betrachte man die kurze exakte Sequenz

<math>0\rightarrow \Z\xrightarrow{\alpha} \Z\xrightarrow{\beta} \Z_2\rightarrow 0</math>

von <math>\Z</math>-Moduln, wobei <math>\alpha(n) := 2n</math> und <math>\beta</math> die natürliche Abbildung von <math>\Z</math> auf die Restklassengruppe <math>\Z_2=\{\overline{0},\overline{1}\}</math> sei. Tensoriert man diese Sequenz mit <math>\Z_2</math>, so ist <math>\mathrm{id}_{\Z_2}\otimes \alpha</math> nicht injektiv, denn es ist

<math>(\mathrm{id}_{\Z_2}\otimes \alpha)(\overline{1}\otimes 1) = \mathrm{id}_{\Z_2}(\overline{1})\otimes \alpha(1) = \overline{1}\otimes 2\cdot 1 = 2\cdot \overline{1}\otimes 1 = \overline{0}\otimes 1 = 0</math>.

Dabei wurde der Faktor 2 von der torsionsfreien Gruppe <math>\Z</math> mittels Tensoroperation in die Torsionsgruppe <math>\Z_2</math> verschoben und hat dort zu einer 0 geführt. Das ist der typische Grund, warum die Injektivität des Morphismus <math>\alpha</math> beim Übergang zur tensorierten Sequenz verloren geht. Die fehlende Injektivität führt zum Auftreten eines Kerns und gibt Anlass zu folgender Definition.

Definition

Es seien <math>A</math> ein Rechts-<math>R</math>-Modul und <math>B</math> ein Links-<math>R</math>-Modul. Weiter sei

<math>0\rightarrow S\xrightarrow{\mu} P\xrightarrow{\nu} B\rightarrow 0</math>

eine kurze exakte Sequenz mit projektivem Modul <math>P</math>. Dann definiert man die abelsche Gruppe

<math>\operatorname{Tor}(A,B):=\operatorname{ker}(A\otimes_R S \xrightarrow{\mathrm{id}_A\otimes \mu}A\otimes_R P)</math>

und man kann zeigen, dass diese Definition nicht von der gewählten exakten Sequenz <math>0\rightarrow S\rightarrow P\rightarrow B\rightarrow 0</math> mit projektivem <math>P</math> abhängt. Das rechtfertigt die Schreibweise <math>\operatorname{Tor}(A,B)</math> ohne Hinweis auf diese Sequenz. Manchmal fügt man noch den Ring <math>R</math> an und schreibt <math>\operatorname{Tor}^R(A,B)</math>.

Ist <math>\alpha\colon A\rightarrow A'</math> ein Morphismus, so entnimmt man dem kommutativen Diagramm

<math>\begin{array}{cccccc}

A\otimes_R S & \xrightarrow{\mathrm{id}_A\otimes \mu} & A\otimes_R P & \xrightarrow{\mathrm{id}_A\otimes \nu} & A\otimes_R B & \rightarrow 0\\ \downarrow_{\alpha\otimes \mathrm{id}_S} & & \downarrow_{\alpha\otimes \mathrm{id}_P} & & \downarrow_{\alpha\otimes \mathrm{id}_B} & \\ A'\otimes_R S & \xrightarrow{\mathrm{id}_{A'}\otimes \mu} & A'\otimes_R P & \xrightarrow{\mathrm{id}_{A'}\otimes \nu} & A'\otimes_R B & \rightarrow 0 \end{array} </math>,

dass die Einschränkung von <math> \alpha\otimes \mathrm{id}_S</math> den Kern von <math>\mathrm{id}_A\otimes \mu</math> nach <math>\operatorname{ker}(\mathrm{id}_{A'}\otimes \mu)</math> abbildet und so einen Gruppenhomomorphismus <math>\alpha_{*}\colon\operatorname{Tor}(A,B)\rightarrow \operatorname{Tor}(A',B)</math> definiert. Auf diese Weise erhält man einen Funktor <math>\operatorname{Tor}^R(-,B)\colon\mathfrak{rMod}_R\rightarrow \mathfrak{Ab}</math> von der Kategorie der Rechts-<math>R</math>-Moduln in die Kategorie der abelschen Gruppen.

Weiter kann man die Rollen von <math>A</math> und <math>B</math> vertauschen, das heißt man geht von der exakten Sequenz <math>0\rightarrow S\rightarrow P\rightarrow A</math> von Rechts-<math>R</math>-Moduln aus und zeigt, dass man mit <math>\operatorname{ker}( S\otimes_R B \rightarrow P\otimes_R B)</math> eine zu obiger Definition natürlich isomorphe Gruppe erhält, die daher ebenfalls mit <math>\operatorname{Tor}(A,B)</math> bzw. <math>\operatorname{Tor}^R(A,B)</math> bezeichnet werden kann. Insgesamt erhält man so einen Bi-Funktor

<math>\operatorname{Tor}^R(-,-)\colon\mathfrak{rMod}_R \times \mathfrak{lMod}_R\rightarrow \mathfrak{Ab}</math>

von dem Produkt der Kategorie der Rechts-Moduln über <math>R</math> mit der Kategorie der Links-Moduln über <math>R</math> in die Kategorie der abelschen Gruppen.<ref>P. J. Hilton und U. Stammbach: A course in homological algebra. 2. Auflage, Springer-Verlag, Graduate Texts in Mathematics, 1997, ISBN 0-387-94823-6, Kapitel III.8: The Functor Tor</ref>

Der Tor-Funktor ist additiv, das heißt man hat natürliche Isomorphismen

<math>\operatorname{Tor}^R(A\oplus A',B)\cong \operatorname{Tor}^R(A,B) \oplus \operatorname{Tor}^R(A',B)</math>

<math>\operatorname{Tor}^R(A,B\oplus B')\cong \operatorname{Tor}^R(A,B) \oplus \operatorname{Tor}^R(A,B')</math>

für Rechts-<math>R</math>-Moduln <math>A,A^'</math> und Links-<math>R</math>-Moduln <math>B,B^'</math>.

Abelsche Gruppen

Wählt man <math>\Z</math> als Grundring, so bewegt man sich in der Kategorie der abelschen Gruppen, denn diese sind genau die <math>\Z</math>-Moduln, und man muss wegen der Kommutativität des Grundrings nicht zwischen Links- und Rechts-Moduln unterscheiden. In dieser Kategorie ergeben sich gewisse Vereinfachungen und man findet einen Zusammenhang zwischen dem Tor-Funktor und der für ihn namensgebenden Torsion von Gruppen.

Alternative Beschreibung von Tor(A,B)

Im Falle abelscher Gruppen <math>A</math> und <math>B</math> kann <math>\operatorname{Tor}(A,B)</math> wie folgt durch Erzeuger und Relationen präsentiert werden.<ref>Saunders Mac Lane: Homology, Springer Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, Band 114 (1967), Kap. V, § 6, "Torsion Products of Groups"</ref>

Die Menge <math>\mathcal{E}</math> der Erzeuger sei die Menge aller Symbole <math>\langle a,m,b\rangle</math> mit <math>a\in A, m\in \Z, b\in B</math>, <math>am = 0</math> und <math>mb=0</math>, wobei hier die <math>\Z</math>-Modul-Operation nur aus praktischen Gründen einmal links und einmal rechts geschrieben wurde, eine Unterscheidung ist, wie oben erwähnt, nicht nötig. Die Menge <math>\mathcal{R}</math> der Relationen enthalte alle Ausdrücke der Form

<math>\langle a_1+a_2,m,b \rangle = \langle a_1,m,b \rangle + \langle a_2,m,b \rangle,\quad \langle a_1,m,b \rangle, \langle a_2,m,b \rangle \in \mathcal{E}</math>

<math>\langle a,m,b_1+b_2 \rangle = \langle a,m,b_1 \rangle + \langle a,m,b_2 \rangle,\quad \langle a,m,b_1 \rangle, \langle a,m,b_2 \rangle \in \mathcal{E}</math>

<math>\langle a,mn,b \rangle = \langle am,n,b \rangle, \quad \langle am,n,b \rangle \in \mathcal{E}</math>

<math>\langle a,mn,b \rangle = \langle a,m,nb \rangle, \quad \langle a,m,nb \rangle \in \mathcal{E}</math>

Dann kann man zeigen, dass die durch <math>\langle \mathcal{E}|\mathcal{R}\rangle </math> präsentierte Gruppe zu <math>\operatorname{Tor}(A,B)</math> isomorph ist. Zur Konstruktion einer Abbildung <math>\langle \mathcal{E}|\mathcal{R}\rangle \rightarrow \operatorname{Tor}(A,B)</math> sei <math>0\rightarrow S\xrightarrow{\mu} P\xrightarrow{\nu} B\rightarrow 0</math> eine kurze exakte Sequenz mit projektivem <math>\Z</math>-Modul <math>P</math> und <math>\langle a,m,b\rangle</math> ein Erzeuger. Wähle <math>p\in P</math> mit <math>\nu(p)=b</math>. Dann ist <math>\nu(mp)= mb = 0</math> und wegen der Exaktheit gibt es genau ein <math>s\in S</math> mit <math>\mu(s)=mp</math>. Man kann zeigen, dass <math>a\otimes s </math> nicht von der Wahl <math>p</math> abhängt. Da

<math>(\mathrm{id}_A\otimes \mu)(a\otimes s) = a\otimes \mu(s) = a\otimes mp = am\otimes p = 0\otimes p = 0</math>,

liegt <math>a\otimes s </math> im Kern von <math>\mathrm{id}_A\otimes \mu</math> und damit definitionsgemäß in <math>\operatorname{Tor}(A,B)</math>. Die vorgestellte Konstruktion definiert daher eine Abbildung <math>\langle \mathcal{E}|\mathcal{R}\rangle \rightarrow \operatorname{Tor}(A,B)</math>, von der man zeigen kann, dass es sich um einen Gruppenisomorphismus handelt.

Charakterisierung torsionsfreier Gruppen

Für eine abelsche Gruppe <math>A</math> sind folgende Aussagen äquivalent<ref>Saunders Mac Lane: Homology, Springer Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, Band 114 (1967), Kap. V, Theorem 6.2</ref>:

• <math>A</math> ist torsionsfrei, das heißt enthält außer 0 keine Elemente endlicher Ordnung.
• <math>\operatorname{Tor}(A,B)=0</math> für alle abelschen Gruppen <math>B</math>.
• Für alle injektiven Gruppenhomomorphismen <math>\beta\colon B\rightarrow C</math> ist auch <math>\mathrm{id}_A\otimes\beta\colon A\otimes_{\Z}B\rightarrow A\otimes_{\Z}C</math> injektiv.
• Jede exakte Sequenz abelscher Gruppen geht durch Tensorieren mit <math>A</math> wieder in eine exakte Sequenz über.

Insbesondere ist <math>\operatorname{Tor}(A,B)=0</math>, falls eine der Gruppen gleich <math>\Z</math> oder <math>\Q</math> ist.

Endlich erzeugte abelsche Gruppen

<math>\operatorname{Tor}(A,B)</math> lässt sich für endlich erzeugte abelsche Gruppen vollständig berechnen. Nach dem Hauptsatz über endlich erzeugte abelsche Gruppen sind solche Gruppen direkte Summen von zyklischen Gruppen, so dass <math>\operatorname{Tor}(A,B)</math> wegen der Additivität des Tor-Funktors nur noch für zyklische Gruppen zu bestimmen ist. Ist eine der Gruppen gleich <math>\Z</math>, so ist <math>\operatorname{Tor}(A,B)=0</math> und es bleibt nur noch der Fall endlicher zyklischer Gruppen. Sei <math>\Z_n</math> die zyklische Gruppe der Ordnung <math>n</math>. Dann folgt<ref>Saunders Mac Lane: Homology, Springer Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, Band 114 (1967), Kap. V, § 6, "Torsion Products of Groups"</ref>

<math>\operatorname{Tor}(\Z_n,B) \cong \{b\in B; nb=0\}</math>

und daraus, wenn man den größten gemeinsamen Teiler von <math>m</math> und <math>n</math> mit <math>(m,n)</math> bezeichnet:

<math>\operatorname{Tor}(\Z_m,\Z_n) \cong \Z_{(m,n)}</math>,

was man aber auch direkt aus der Definition mit der Auflösung <math>0\rightarrow \Z\xrightarrow{a\mapsto ma} \Z \rightarrow \Z_m</math> herleiten kann. Damit ist <math>\operatorname{Tor}(A,B)</math> für endlich erzeugte abelsche Gruppen bestimmt.

Tor als Ableitung des Tensor-Funktors

Eine allgemeinere Definition erhält man durch

<math>\operatorname{Tor}_n^R(A,B) := L_n(-\otimes_R B)(A) \cong L_n(A\otimes_R -)(B)</math>

als <math>n</math>-te Linksableitung des Tensorfunktors. Ist der Grundring <math>R</math> durch den Kontext gegeben, so lässt man ihn in der Bezeichnung fort und schreibt einfach <math>\operatorname{Tor}_n(A,B)</math>. Man erhält so eine Folge von Bi-Funktoren

<math>\operatorname{Tor}_n^R(-,-)\colon\mathfrak{rMod}_R \times \mathfrak{lMod}_R\rightarrow \mathfrak{Ab}</math>.

Verwendet man projektive Auflösungen zur Berechnung von <math>\operatorname{Tor}_n^R(A,B)</math>, so sieht man, dass <math>\operatorname{Tor}_1^R(A,B)</math> mit dem oben definierten <math>\operatorname{Tor}</math>-Funktor zusammenfällt.

Man erhält aus der allgemeinen Theorie folgende lange exakte Sequenzen, die zeigen, wie der Tor-Funktor die fehlende Linksexaktheit des Tensorfunktors kompensiert.<ref>P. J. Hilton und U. Stammbach: A course in homological algebra. 2. Auflage, Springer-Verlag, Graduate Texts in Mathematics, 1997, ISBN 0-387-94823-6, Kapitel IV.11: The Functor <math>\operatorname{Tor}_n^{\Lambda}</math></ref>

Ist <math>0\rightarrow A\rightarrow A^{'}\rightarrow A^{}\rightarrow 0</math> eine kurze exakte Sequenz von Rechts-<math>R</math>-Moduln und <math>B</math> ein Links-<math>R</math>-Modul, so hat man eine lange exakte Sequenz

<math>\ldots \rightarrow \operatorname{Tor}_2(A^{},B) \rightarrow \operatorname{Tor}_1(A,B) \rightarrow \operatorname{Tor}_1(A^{'},B) \rightarrow \operatorname{Tor}_1(A^{},B) </math>

<math>\rightarrow A\otimes_R B\rightarrow A^{'}\otimes_R B\rightarrow A^{}\otimes_R B\rightarrow 0</math>.

Ist <math>0\rightarrow B\rightarrow B^{'}\rightarrow B^{}\rightarrow 0</math> eine kurze exakte Sequenz von Links-<math>R</math>-Moduln und <math>A</math> ein Rechts-<math>R</math>-Modul, so hat man eine lange exakte Sequenz

<math>\ldots \rightarrow \operatorname{Tor}_2(A,B^{}) \rightarrow \operatorname{Tor}_1(A,B) \rightarrow \operatorname{Tor}_1(A,B^{'}) \rightarrow \operatorname{Tor}_1(A,B^{}) </math>

<math>\rightarrow A\otimes_R B\rightarrow A\otimes_R B^{'} \rightarrow A\otimes_R B^{} \rightarrow 0</math>.

Einzelnachweise

<references />