Transferfunktionsmodell
Vorlage:Hinweisbaustein Unter einem Transferfunktionsmodell wird in der Zeitreihenanalyse ein univariates Zeitreihenmodell verstanden, bei dem die Zielvariable <math>Y_t</math> außer von sich selbst und einer unbeobachtbaren Schockvariablen <math>Z_t</math> von weiteren beobachtbaren Variablen <math>X_mt</math> dynamisch abhängig sein kann. Im Gegensatz zu Vektorprozessen finden nur ein Einfluss der <math>X_mt</math> auf <math>Y_t</math> statt und nicht umgekehrt. Ein solches Modell kann auch als univariates dynamisches Modell mit Inputvariablen angesehen werden. Formal lässt sich folgende Darstellung wählen:
<math>Y_t=\nu(L)X_t+\frac{\Theta(L)}{\Phi(L)}Z_t</math>
Dabei ist <math>X_t</math> die Inputvariable. Im Gegensatz zum Interventionsmodell kann diese Inputvariable mehr Ausprägungen haben als die Indikatorfunktion (nur 0 und 1). <math>Y_t</math> kann dabei als Outputvariable bezeichnet werden. <math>Y_t=\nu(L)</math> wird als Transferfunktion bezeichnet. Diese Funktion ist in ihrer Wirkung auf die Zeitreihe mit der Impuls-Antwort-Funktion des Interventionsmodells vergleichbar. Das Transferfunktionsmodell ist stabil, wenn die Impuls-Antwort-Gewichte absolut summierbar sind. Somit würde ein beschränkter Input auch einen beschränkten Output erzeugen. Das Modell heißt kausal, wenn <math>Y_t</math> keine vorlaufende Funktion von <math>X_t</math> ist. X ist bezüglich Y exogen, und es gibt keine Feedback-Beziehung von Y zu X.
Zur Identifikation des Modells wird auf das Instrument der Kreuzkorrelationsfunktion zurückgegriffen. Diese Funktion ist im Gegensatz zur Autokorrelationsfunktion nicht symmetrisch um l. Die Beziehung zwischen der Kreuzkorrelations- und der Transferfunktion ist recht kompliziert:
<math>\rho(l)=\frac{\sigma_X}{\sigma_Y}[\nu_0\rho_X(l)+\nu_1\rho_X(l-1)+\nu_2\rho_X(l-2)+...]</math>.
Das hier zu lösende simultane Gleichungssystem ist recht kompliziert. Einfacher hätte man es, wenn folgender Zusammenhang herstellbar wäre:
<math>\nu=\frac{\sigma_Y}{\sigma_X}\rho_{XY}(l)</math>.
Damit wäre <math>\nu_l</math> proportional zum Kreuzkorrelationskoeffizienten <math>\rho_{XY}(l)</math>. Dieses kann erreicht werden, in dem man den Input so transformiert, dass dieser weißes Rauschen wird. Bei der als „Vorweißen“ genannten Transformation wird davon ausgegangen, dass die Inputreihe <math>X_t</math> als ARMA-Prozess aufgefasst wird:
<math>\Phi_Y(L)X_t=\Theta_X(L)\alpha_t</math>. Nach umformen ergibt sich die vorgeweißte Inputreihe:
<math>\alpha_t=\frac{\Phi_X(L)}{\Theta_X(L)}X_t</math>
Nun muss noch dieselbe Transformation auf die Outputvariable <math>Y_t</math> angewandt werden:
<math>\beta_t=\frac{\Phi_X(L)}{\Theta_X(L)}Y_t</math>.
Das ursprüngliche Transferfunktionsmodell lässt sich nun als:
<math>\beta_t=\nu(L)\alpha_t+\varepsilon_t</math> auffassen. <math>\alpha_t</math> ist dabei weißes Rauschen. <math>\beta_t</math> und <math>\varepsilon_t</math> sind in der Regel kein weißes Rauschen. Für den Kreuzkorrelationskoeffizienten der transformierten Zeitreihe erhält man:
<math>\nu=\frac{\sigma_\beta}{\sigma_\alpha}\rho_{\alpha\beta}(l)</math>.
Mit diesem Ergebnis kann die Schätzung wie im ARMA-Modell erfolgen.
Literatur
- Claus Möbus und Willi Nagl: Messung, Analyse und Prognosevon Veränderungen, Multiple Zeitreihenanalyse : Transferfunktionsmodelle Seite 268 ff