Transversalitätssatz

Der Transversalitätssatz ist ein auf René Thom zurückgehender Satz der Differentialtopologie, der die Grundlage für zahlreiche topologische Konstruktionen wie zum Beispiel die Pontrjagin-Thom-Konstruktion, die Kobordismustheorie, Chirurgietheorie sowie die Definition von Schnittzahlen und Verschlingungszahlen bildet.

Satz

Sei <math>f\colon M\rightarrow N</math> eine differenzierbare Abbildung zwischen differenzierbaren Mannigfaltigkeiten und <math>U</math> eine Untermannigfaltigkeit von <math>N</math>. Dann gibt es zu jeder strikt positiven Funktion <math>\delta\colon M\rightarrow\mathbb R</math> (und jeder Metrik auf <math>N</math>) eine <math>\delta</math>-Approximation von <math>f</math>, die transversal zu <math>U</math> ist.<ref>René Thom: Un lemme sur les applications différentiables. In: Boletin de la Sociedad Matemática Mexicana/2. Serie, Bd. 1 (1956), pp. 59–71, {{#invoke:URIutil|{{#ifeq:1|1|linkISSN|targetISSN}}|0037-8615|0}}{{#ifeq:1|0|[!] }}{{#ifeq:0|1

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Erläuterungen: Eine differenzierbare Abbildung <math>g\colon M\rightarrow N</math> ist transversal zur Untermannigfaltigkeit <math>U</math>, wenn

<math>T_{g(x)}N = T_{g(x)}U + d_{x}g(T_{x}M) \quad \forall \, x \in g^{-1}(U)</math>

gilt. (Insbesondere auch wenn <math>g^{-1}(U)=\emptyset</math>.) Eine Abbildung <math>g\colon M\rightarrow N</math> ist eine δ-Approximation von <math>f\colon M\rightarrow N</math> falls

gilt. Für hinreichend kleine <math>\delta>0</math> ist jede δ-Approximation homotop zu <math>f</math>. Insbesondere folgt aus dem Transversalitätssatz also die Existenz einer zu <math>f</math> homotopen Abbildung, die transversal zu <math>U</math> ist. Zu jedem <math>\epsilon\colon M\rightarrow\mathbb R</math> gibt es ein <math>\delta\colon M\rightarrow\mathbb R</math>, so dass es zu jeder δ-Approximation <math>g</math> von <math>f</math> eine Homotopie <math>H\colon M\times\left[0,1\right] \rightarrow N</math> zwischen <math>f</math> und <math>g</math> gibt, bei der für jedes <math>t\in\left[0,1\right]</math> die Abbildung <math>H(.,t)</math> eine ε-Approximation von <math>f</math> ist.<ref>Theodor Bröcker, Tammo tom Dieck: Kobordismentheorie (Lecture Notes in Mathematics; Bd. 178). Springer Verlag, Berlin 1970, ISBN 3-540-05341-7.</ref>

Beispiele

<math>f\colon \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^2, \; t \mapsto (t, t^2)</math> ist nicht transversal zur x-Achse, jedoch ist für jedes <math>\epsilon >0</math> die Abbildung <math>g\colon \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^2, \; t \mapsto (t, t^2+\epsilon)</math> transversal zur x-Achse.
Falls <math>\dim(M)+\dim(U)<\dim(N)</math>, dann folgt aus dem Transversalitätssatz, dass es zu jeder Abbildung <math>f\colon M\rightarrow N</math> eine δ-Approximation gibt, deren Bild disjunkt zu <math>U</math> ist.

Relative Version und Homotopietransversalitätssatz

Sei <math>f\colon M\rightarrow N</math> eine differenzierbare Abbildung zwischen differenzierbaren Mannigfaltigkeiten und <math>U</math> eine Untermannigfaltigkeit von <math>N</math>. Sei <math>A</math> eine Untermannigfaltigkeit von <math>M</math> und die Einschränkung <math>f\mid_A</math> sei transversal zu <math>U</math>. Dann gibt es zu jeder strikt positiven Funktion <math>\delta\colon M\rightarrow\mathbb R</math> (und jeder Metrik auf <math>N</math>) eine <math>\delta</math>-Approximation von <math>f</math>, die transversal zu <math>U</math> ist und auf <math>A</math> mit <math>f</math> übereinstimmt.

Als einen Spezialfall erhält man den Homotopietransversalitätssatz:

Seien <math>M,N</math> differenzierbare Mannigfaltigkeiten und <math>U</math> eine Untermannigfaltigkeit von <math>N</math>. Sei <math>F\colon M\times\left[0,1\right]\rightarrow N</math> eine differenzierbare Abbildung, für die <math>f_0:=F(.,0)\colon M\rightarrow N</math> und <math>f_1:=F(.,1)\colon M\rightarrow N</math> transversal zu <math>U</math> sind. Dann gibt es eine Abbildung <math>G\colon M\times\left[0,1\right]\rightarrow N</math>, die transversal zu <math>U</math> ist und auf <math>M\times\left\{0\right\}</math> bzw. <math>M\times\left\{1\right\}</math> mit <math>f_0</math> bzw. <math>f_1</math> übereinstimmt.

In Worten: wenn zwei transversale Abbildungen homotop sind, dann gibt es auch eine transversale Homotopie.

Einzelnachweise