Umfang (Geometrie)

Datei:Pi-unrolled-720.gif

Umfang des Kreises:
U = d·π (hier ist d = 1)

Datei:Rectangle.svg

Umfang des Rechtecks:
U = 2·a + 2·b = 2·(a + b)

Der Umfang einer ebenen Figur, die durch eine Linie begrenzt ist, bezeichnet die Länge ihrer Begrenzungslinie.

Die Formel für den Kreisumfang lautet:

<math>U</math> steht dabei für den Umfang,
<math>r</math> für den Radius des Kreises,
<math>\pi</math> für die Kreiszahl mit dem Wert 3,14159265… und
<math>d</math> für den Kreisdurchmesser.

Der Umfang eines Vielecks ist die Summe seiner Seitenlängen.

Datei:Herzkurve2.svg

Herzkurve <math>\gamma\colon [0,2\pi]\rightarrow \mathbb{R}^2 </math>
(Zeichnung mit <math>a=1</math>)
<math>x(t) = 2 a \cos(t) (1 + \cos(t))</math>
<math>y(t) = 2 a \sin(t) (1 + \cos (t))</math>
<math>U = \int\limits_0^{2\pi}\sqrt{x'(t)^2+y'(t)^2}\,\mathrm dt=16a</math>

Wird die Begrenzungslinie der Figur durch eine geschlossene stückweise glatte Parameterkurve <math> \gamma\colon [a,b]\rightarrow \mathbb{R}^2</math> beschrieben mit

<math> \gamma(t)=\begin{pmatrix}x(t)\\y(t)\end{pmatrix}</math>,

so lässt sich ihr Umfang <math>U</math> über das folgende Integral berechnen:

<math>U = \int\limits_a^b\sqrt{x'(t)^2+y'(t)^2}\,\mathrm dt</math>. (siehe Länge (Mathematik))

Literatur

Karl Barth: Die technischen Hilfswissenschaften: Mathematik, Geometrie und Chemie. Oldenbourg, S. 95–96

Weblinks

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Umfang und Flächen elementarer Figuren