Verallgemeinerte lineare Modelle

{{#if: behandelt eine Modellklasse, die der Zielgröße erlaubt eine andere Verteilung als die Normalverteilung anzunehmen.

Für das verallgemeinerte Modell der Kleinste-Quadrate-Schätzung, siehe Das verallgemeinerte lineare Regressionsmodell (VLR).

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Begriffsklärung

Verallgemeinerte lineare Modelle sind nicht mit dem allgemeinen linearen Modell zu verwechseln, dessen natürliche englische Abkürzung ebenfalls GLM ist, aber im Gegensatz zu verallgemeinerten linearen Modellen von der Voraussetzung einer normalverteilten Antwortvariablen ausgeht. In vielen statistischen Programmpaketen werden – da die Abkürzung GLM schon für das allgemeine linearen Modell belegt ist – zur besseren Unterscheidung andere Abkürzungen wie VLM bzw. GLZ für {{#invoke:Vorlage:lang|full|CODE=en|SCRIPTING=Latn|SERVICE=englisch}} GeneraLiZed linear models (in STATISTICA) oder GzLM für {{#invoke:Vorlage:lang|full|CODE=en|SCRIPTING=Latn|SERVICE=englisch}} GeneraLiZed Linear Models (in SPSS) verwendet. Manche Autoren verwenden zur besseren Unterscheidung statt der Abkürzung GLM die Abkürzung GLiM.

Ebenso sind verallgemeinerte lineare Modelle nicht mit dem verallgemeinerten linearen Regressionsmodell der verallgemeinerten Kleinste-Quadrate-Schätzung (VKQ-Schätzung) zu verwechseln, bei der jedoch eine verallgemeinerte Struktur bzgl. der Störgrößen vorliegt.

Modellkomponenten

Die Modellklasse der verallgemeinerten linearen Modelle besteht aus drei Komponenten:

Zufallskomponente: Wie bei den klassischen linearen Modellen nimmt man unabhängige Zufallsvariablen <math>Y_1, Y_2, \ldots, Y_n</math> mit Erwartungswert <math>\operatorname{E}(Y_{i}) = \mu_{i}</math> an, die eine Dichtefunktion aus der Exponentialfamilie (z. B. eine Binomial-, Poisson-, oder Gamma-Verteilung) besitzen.

Systematische Komponente: Gegeben ist der Kovariablenvektor <math>\mathbf x_{i}^{\top} = (1 , x_{i1},\ldots, x_{ik})</math> mit <math>k+1</math> Komponenten (siehe Das klassische Modell der linearen Mehrfachregression), der die Verteilung der <math>Y_{i}</math> nur durch eine lineare Funktion beeinflusst. Diese lineare Funktion heißt linearer Prädiktor und ist in der multiplen linearen Regression in folgender Form gegeben:

<math>\eta_{i} = \beta_0 + x_{i1} \beta_1 +x_{i2} \beta_2+ \dotsc + x_{ik} \beta_k = \mathbf{x}^{\top}_{i} \boldsymbol{\beta}</math>. Hier erkennt man, dass der lineare Prädiktor den Vektor der Regressionskoeffizienten <math>\boldsymbol{\beta} = \left( \beta_{0} \, \beta_{1}, \dots ,\beta_{k} \right)^{\top}</math> in das Modell miteinführt.

Kopplungsfunktion: Für ein verallgemeinertes lineares Modell ist eine (oft nichtlineare<ref>Rencher, Alvin C., und G. Bruce Schaalje: Linear models in statistics., John Wiley & Sons, 2008., S. 514.</ref>) Kopplungsfunktion <math>g(\cdot)</math> vorhanden, die die durch den linearen Prädiktor <math>\eta_{i}</math> beschriebene systematische Komponente und die durch den Erwartungswert <math>\mu_i = \operatorname{E}(Y_{i})</math> der Antwortvariablen beschriebene stochastische Komponente der Verteilung von <math>Y_{i}</math> koppelt: <math>g(\mu_i) = \eta_{i}</math>. Die Umkehrfunktion der Kopplungsfunktion, die sogenannte Antwortfunktion <math>h(\cdot)</math> überführt die Linearkombination der erklärenden Variablen in den (bedingten) Erwartungswert <math>\mu_i = \operatorname{E}(Y_{i})</math>: <math>\mu_i = h(\eta_{i})</math>.<ref>Ludwig Fahrmeir, Thomas Kneib, Stefan Lang, Brian Marx: Regression: models, methods and applications. Springer Science & Business Media, 2013, ISBN 978-3-642-34332-2, S. 301.</ref> Beispiele für Kopplungsfunktionen sind die Logit-Funktion und die Probit-Funktion.

Verteilungen aus der Familie der verallgemeinerten linearen Modelle

In die Modellklasse der verallgemeinerten lineare Modelle lassen sich einbetten die Normalverteilung, Binomial-Verteilung, Poisson-Verteilung, Gammaverteilung und die Inverse Normalverteilung, Bernoulli-Verteilung, Skalierte Poisson-Verteilung, Skalierte Binomial-Verteilung, Skalierte negative Binomial-Verteilung.<ref>Torsten Becker et al.: Stochastische Risikomodellierung und statistische Methoden. Springer Spektrum, 2016. S. 308.</ref>

Literatur

Peter McCullagh, John Nelder: Generalized Linear Models, Chapman and Hall/CRC Press, 2. Auflage 1989
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Einzelnachweise