Volumenarbeit
{{#if: behandelt geschlossene Systeme, also insbesondere eine konstante Stoffmenge (vorbehaltlich chemischer Reaktionen); für strömende Systeme siehe Hydraulik.
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Die Volumenarbeit oder Volumenänderungsarbeit ist die an einem geschlossenen System zu leistende Arbeit <math>W</math>, um das Volumen des Systems vom Wert <math>V_1</math> auf eines mit dem Wert <math>V_2</math> zu verändern:
- bei der Volumenverkleinerung <math>(V_2<V_1)</math> durch Kompression wird Kompressionsarbeit geleistet, d. h., dem System zugeführt (in der Abbildung ist dies die Arbeit, die der Kolben an dem im Zylinder enthaltenen Gas verrichtet): <math> W > 0</math>
- bei der Volumenvergrößerung <math>(V_2>V_1)</math> durch Expansion wird Arbeit – d. h. Energie – frei, d. h., vom System abgegeben: <math> W < 0.</math>
Die Volumenarbeit errechnet sich zu
- <math> W_{1,2} = - \int\limits_{s} F(s) \cdot \mathrm{d}s</math>.
Hierbei ist <math>F(s)</math> die Kraft, die längs eines Weges <math>s</math> wirkt; dieser wird in Expansionsrichtung positiv gezählt (in der Abbildung entgegen der gezeigten Kompressionskraft <math>F_p</math>).
Das Minuszeichen in der Formel ist eine Konvention; so wird erreicht, dass dem System zugeführte Arbeit wie oben beschrieben positiv ist, freiwerdende Energie dagegen ein negatives Vorzeichen erhält. Bei der dargestellten Kompression hat der zurückgelegte Weg ein negatives Vorzeichen <math>\left( \mathrm{d}s < 0 \right),</math> welches durch das zusätzliche Minuszeichen in der Formel für die Volumenarbeit kompensiert wird.
Reibungsloser Vorgang
Die reibungsfrei und quasistatisch zugeführte Arbeit ist in dem dargestellten Zylinder mit dem Querschnitt <math>A</math> <math>\left( \Rightarrow \mathrm{d}s = \frac{\mathrm{d}V}{A} \right)</math>
wegen <math>F = p \cdot A</math> (Reibungsfreiheit):
- <math> \Rightarrow W_{1,2} = \int \limits_{V_1}^{V_2} \delta W = - \int \limits_{V_1}^{V_2} p \cdot \mathrm{d}V </math>
mit
- <math>\delta W = -p dV</math> das inexakte Differential der Volumenarbeit
- <math>p</math>: Druck
- <math>\mathrm{d}V</math>: Volumenänderung.
Diese Zustandsänderung verläuft im p-V-Diagramm vom Punkt 1 zum Punkt 2, bei der dargestellten Kompression also in negativer Volumenrichtung <math>\left( \mathrm{d}V < 0 \right);</math> daher hätte die Kompressionsarbeit ohne das Minuszeichen in der Formel ein negatives Vorzeichen.
Der Integralwert, der der Fläche unter dem Zustandsverlauf entspricht, lässt sich berechnen, wenn die Funktion p = f(V) bekannt ist (s. u.).
Reibungsbehafteter Vorgang
Im realen Fall, wenn zwischen dem Kolben und dem Zylinder eine Reibungskraft wirkt, muss beim Komprimieren zusätzlich zur Volumenänderungsarbeit die Reibungsarbeit <math>W_R</math> aufgebracht werden. Diese erhöht die innere Energie des Systems und damit den Druck gegenüber dem reibungsfreien Vorgang (wenn sie nicht durch Kühlung als Wärme nach außen abgeführt wird):
- <math>{p_2}' > p_2</math>
Im p-V-Diagramm verläuft die Zustandsänderung nun vom Punkt 1 zum Punkt 2’. Das heißt, dass auch die Volumenänderungsarbeit, die der Fläche unter dem Verlauf entspricht, größer wird, ohne dass darin die Reibungsarbeit selbst enthalten ist:
- <math>\Rightarrow W_{1, 2'} > W_{1, 2}</math>
Die von außen aufzubringende Arbeit ist also die Summe aus der nunmehr größeren Volumenänderungsarbeit und der Reibungsarbeit:
- <math>W_\text{ext} = W_{1, 2'} + W_R</math>
Berechnungsbeispiel
Angenommen sei die isotherme Expansion eines idealen Gases <math>\left( T = \text{konst.} \right).</math>
Dann lässt sich durch Einsetzen der thermischen Zustandsgleichung idealer Gase:
- <math> p(V) = n \cdot R \cdot T \cdot \frac{1}{V}</math>
mit
- n die Stoffmenge
- R die allgemeine Gaskonstante
- T die absolute Temperatur
das Integral für die Volumenarbeit lösen:
- <math>\begin{align}
\Rightarrow W_{1,2} & = -n \cdot R \cdot T \cdot \ln \frac {V_2}{V_1}\\
& = \phantom{-}n \cdot R \cdot T \cdot \ln \frac {V_1}{V_2}
\end{align}</math>
Anhand dieser Gleichung sieht man, dass bei der Expansion eines idealen Gases die Volumenarbeit negativ ist, also Energie frei wird; dies folgt aus dem Logarithmus, der für Zahlen kleiner eins negativ und für Zahlen größer eins positiv ist:
- <math>\begin{align}
V_2 > V_1\\ \Leftrightarrow \frac {V_2}{V_1} > 1\\ \Leftrightarrow \ln \frac {V_2}{V_1} > 0\\ \Rightarrow W_\mathrm{1,2} < 0 \end{align}</math>
Statt n·R kann man oben auch m·Rs einsetzen:
- <math>n \cdot R = m \cdot R_\mathrm{s}</math>
wobei
- m die Masse des Stoffes und
- Rs seine spezifische Gaskonstante ist.
Offenes System
Wird die Kompression in einem offenen System mit dem Außendruck <math>p_0</math> durchgeführt, so muss an tatsächlicher Arbeit
- <math>W_{1,2} = p_0 \cdot (V_2 - V_1)</math>
aufgebracht werden, da der Außendruck mit der Fläche multipliziert ebenfalls eine Kraft ergibt. Ist der Außendruck höher als der Innendruck des zu komprimierenden Volumens, so wird dabei Energie gewonnen; ist er geringer, so muss dabei Arbeit geleistet werden.